{"id":352,"date":"2018-05-25T02:51:31","date_gmt":"2018-05-25T00:51:31","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/?p=352"},"modified":"2021-10-25T11:55:07","modified_gmt":"2021-10-25T09:55:07","slug":"13-huellas-de-luz-7-las-vacas-esfericas-de-gustav-mie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/2018\/05\/25\/13-huellas-de-luz-7-las-vacas-esfericas-de-gustav-mie\/","title":{"rendered":"Huellas de luz (7): las vacas esf\u00e9ricas de Gustav Mie"},"content":{"rendered":"
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Muuuuuu (y no os quej\u00e9is, que mi primo es esferoidal)<\/figcaption><\/figure>\n

Bien, ha llegado la hora de ponernos serios. A partir de ahora nada de simplificaciones tipo part\u00edculas muy peque\u00f1as, o muy grandes. Vamos a ver c\u00f3mo dispersan luz las part\u00edculas esf\u00e9ricas del tama\u00f1o que sea.<\/span><\/p>\n

La resoluci\u00f3n de este problema est\u00e1 ligado al nombre de Gustav Mie, quien en 1908 public\u00f3 un art\u00edculo describiendo lo que hoy conocemos por \u201cteor\u00eda de Mie\u201d y que describe la dispersi\u00f3n de luz por part\u00edculas esf\u00e9ricas. Cien a\u00f1os largos y todav\u00eda la estamos usando, fundamentalmente porque es mucho m\u00e1s sencilla (relativamente hablando, claro) que otras teor\u00edas para part\u00edculas no esf\u00e9ricas, y es un buen punto de partida para tratar problemas de dispersi\u00f3n de luz. Recuerdo que incluso traduje el art\u00edculo original del alem\u00e1n (oh, divina juventud), lo que me dio acceso directo a esta teor\u00eda y al modo de trabajar de Mie. Usar\u00e9 tanto el original de Mie como otros trabajos cl\u00e1sicos como el libro de Bohren-Huffman, que ya us\u00e9 en otras entradas anteriores.<\/span><\/p>\n

Por cierto, Mie se pronuncia \u201cmi\u201d, no \u201cmai\u201d, porque es un apellido alem\u00e1n. Vale, empezamos.<\/span><\/p>\n

Mie quer\u00eda explicar el color de algunas suspensiones de oro en estado coloidal (en el que las part\u00edculas son muy peque\u00f1as pero no tanto que lleguen al tama\u00f1o at\u00f3mico). El punto de partida lara la explicaci\u00f3n son las ecuaciones de Maxwell del campo electromagn\u00e9tico. Y resolver esas ecuaciones son palabras mayores.<\/span><\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9? Pues porque no son las t\u00edpicas ecuaciones dondo conoces algunas variables y despejas las que te faltan. Por ejemplo, la ecuaci\u00f3n para el per\u00edodo T de un p\u00e9ndulo simple de longitud L es T = 2\u03c0*ra\u00edz(g\/L), donde g es la aceleraci\u00f3n de la gravedad. En mi laboratorio de pr\u00e1cticas los alumnos miden T y L, lo que les permite obtener g. F\u00e1cil y expeditivo.<\/span><\/p>\n

Las ecuaciones de Maxwell no se pueden \u201cdespejar\u201d, no son de esa clase. Os voy a poner un ejemplo. Digamos que en una regi\u00f3n del espacio tenemos un campo magn\u00e9tico vectorial B<\/b>, que tiene tres componentes (Bx<\/sub>, By<\/sub>, Bz<\/sub>). Cada componente depender\u00e1 del lugar en que nos encontremos, es decir, ser\u00e1 funci\u00f3n de las coordenadas espaciales. Eso se escribe como Bx<\/sub>(x,y,z), y lo mismo para By<\/sub> y Bz<\/sub>. Puesto que Bx<\/sub> es funci\u00f3n de x,y,z, eso significa que puedo derivar Bx<\/sub> con relaci\u00f3n a x, con relaci\u00f3n a y o con relaci\u00f3n a z. La derivada de Bx<\/sub> con relaci\u00f3n a x se escribe como \u2202Bx<\/sub>\/\u2202x (ojo con ese signo de divisi\u00f3n \/, que en este caso NO indica un cociente, es s\u00f3lo notaci\u00f3n). <\/span><\/p>\n

Vale, pues lo que nos dice una de las ecuaciones de Maxwell es que las componente del vector B<\/b> tienen que cumplir la siguiente relaci\u00f3n:<\/span><\/p>\n

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A partir de esa informaci\u00f3n, \u00bfpodemos saber lo que valen Bx<\/sub>, By<\/sub> y Bz<\/sub>? La respuesta est\u00e1ndar es: \u00a1\u00a1NI DE CO\u00d1A!! Es como si Sherlock Holmes buscase al profesor Moriarty y la \u00fanica informaci\u00f3n que tuviese de \u00e9l fuese \u201cbueno, tiene dos piernas, tal vez pas\u00f3 las paperas y ahora vive en una ciudad cuyo nombre no comienza por R\u201d<\/span><\/p>\n

Evidentemente hay que curr\u00e1rselo mucho, mucho m\u00e1s para poder llegar a alguna parte. Las ecuaciones de Maxwell, usadas con astucia, pueden resolverse al menos en algunos casos de forma exacta, en otros de forma aproximada.<\/span><\/p>\n

Mie logr\u00f3 resolverlo de forma exacta. Para ello utiliz\u00f3 coordenadas esf\u00e9ricas, no cartesianes. Es decir, en lugar del tradicional (x,y,z) utiliz\u00f3 otro conjunto de tres coordenadas. Para simplificarlo, os dar\u00e9 un ejemplo: la latitud y longitud, junto con la distancia al centro de la Tierra, forman un sistema de coordenadas esf\u00e9ricas. Hay muchas formas de indicar la posici\u00f3n de un cuerpo, es decir, muchos tipos de sistemas de coordenadas, y resulta que en coordenadas esf\u00e9ricas s\u00ed podemos resolver el problema de la dispersi\u00f3n de luz para part\u00edculas esf\u00e9ricas.<\/span><\/p>\n

Vamos, pues, a usar un sistema de tres coordenadas (r,\u03b8<\/span>,\u03c6<\/span>), donde para seguir el ejemplo anterior r es la distancia al origen de coordenadas, \u03b8 <\/span>es la longitud y \u03c6<\/span> es la latitud. Algo as\u00ed:<\/span><\/p>\n

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ACLARACIONES MENORES PERO IMPORTANTES:<\/span><\/p>\n

– En realidad, esa \u03c6 <\/span>que aparece en la figura es la co-latitud, es decir, 90\u00ba-latitud, pero ese detalle no importa en lo que sigue.<\/span><\/p>\n

– Se supone que el haz de luz incidente viene por la parte negativa del eje z y sale dispersa en la direcci\u00f3n indicada por el vector R<\/b>.<\/span><\/p>\n

– Habitualmente la dispersi\u00f3n de Mie usa un sistema de coordenadas levemente distinto, en el que los \u00e1ngulos \u03b8 <\/span>y \u03c6<\/span> est\u00e1n intercambiados respecto al dibujo de arriba. Por lo que puedo ver, se trata de una elecci\u00f3n hecha por el propio Gustav Mie en su art\u00edculo de 1908, y todos los dem\u00e1s hemos seguido esa notaci\u00f3n desde entonces. No importa, con tal que sepamos qu\u00e9 notaci\u00f3n estamos usando. Fijaos si importa poco, que despu\u00e9s de tantos a\u00f1os trabajando en el tema me doy cuenta AHORA, al escribir este p\u00e1rrafo, del cambio de notaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

Voy a simplificar mucho porque tampoco es cosa de aburrir sin necesidad (cuando yo aburro, siempre hay una necesidad). Comenzaremos y\u00e9ndonos a una regi\u00f3n del espacio compuesta por un medio homog\u00e9neo e is\u00f3tropo; esto es, que tiene las mismas propiedades dentro de esa regi\u00f3n, y donde no hay una direcci\u00f3n privilegiada. Nuestro objetivo es obtener una funci\u00f3n que denotaremos \u03c8<\/span>, que es un escalar (no un vector) y que llamaremos \u201cfunci\u00f3n escalar de ondas\u201d (IMPORTANTE: a pesar de la similitud, NO tiene nada que ver con la funci\u00f3n de onda que se usa en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica).<\/span><\/p>\n

Lo bueno de esa funci\u00f3n \u03c8 <\/span>es que, haci\u00e9ndole algunas perrer\u00edas (bueno, deriv\u00e1ndola y tal pascual) podemos obtener los vectores del campo el\u00e9ctrico E<\/b> y de campo magn\u00e9tico B<\/b>, as\u00ed que resolver el problema que nos ocupa pasa por determinar el valor de \u03c8<\/span>. Lo que en apariencia no es sencillo, porque las ecuaciones de Maxwell nos dicen que esa funci\u00f3n debe cumplir con esta ecuaci\u00f3n. Tomad aire, chicos:<\/span><\/p>\n

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Pero ahora viene lo bueno. Resulta que, en coordenadas esf\u00e9ricas, este problema es separable. Eso significa que puedo escribir la funci\u00f3n \u03c8 <\/span>como producto de otras tres funciones: una que s\u00f3lo depende de r, otra que s\u00f3lo depende de \u03b8 <\/span>y una tercera que s\u00f3lo depende de \u03c6<\/span>:<\/span><\/p>\n

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Tener una ecuaci\u00f3n separable es como que te toque la loter\u00eda, as\u00ed que vamos a cobrar el premio. La consecuencia imnediata de la separaci\u00f3n de soluciones es que la ecuaci\u00f3n diferencial se nos convierte en tres ecuaciones muy sencillas de resolver. Bueno, mejor dir\u00e9 bastante m\u00e1s sencillas. Vamos a verlos.<\/span><\/p>\n

Antes, sin embargo, un aviso: realmente no hay una \u00fanica soluci\u00f3n. Es decir, esas tres funciones separables no son tres, sino muchas. No importa con tal que sepamos cu\u00e1les s\u00f3n y como se calculan. Para indicar todas esas soluciones utilizaremos dos n\u00fameros naturales: n (=0,1,2\u2026) y m (=-n,-n+1 \u2026 n-1,n)<\/span><\/p>\n

Primero vamos a lo sencillo, la coordenada \u03c6<\/span>. Las funciones \u03a6<\/span>m<\/sub> son del tipo cos(m\u03c6<\/span>), sen(m\u03c6<\/span>). M\u00e1s sencillo, imposible, \u00bfverdad? L\u00e1stima que lo que sigue se complique algo m\u00e1s. Las soluciones Rn<\/sub>(r) dependen del n\u00famero entero n y reciben el nombre de funciones esf\u00e9ricas de Bessel. No son facilonas de manejar pero se pueden calcular, y el proceso de c\u00e1lculo es interesante, tanto que lo comentaremos m\u00e1s en profundidad, pero lo dejaremos para otro d\u00eda. Finalmente, las funciones \u0398<\/span>m,n<\/sub> suelen escribirse como Pn<\/sub>m<\/sup> y se llaman polinomios asociados de Legendre.<\/span><\/p>\n

Vale, ahora vamos a hacer una pausa y recapitular. Lo que hemos hecho es describir los campos el\u00e9ctricos y magn\u00e9ticos en una regi\u00f3n del espacio homog\u00e9nea, y ponerlos como combinaci\u00f3n de funciones que podemos calcular (esos polinomios asociados de Legendre, las funciones esf\u00e9ricas de Bessel, y por supuesto los senos y cosenos). Pero eso de estar en \u201cuna regi\u00f3n homog\u00e9nea\u201d es muy aburrido. Nosotros lo que queremos es estudiar dispersi\u00f3n de luz por part\u00edculas, y eso esencialmente consiste en hacer pasar nuestros campos el\u00e9ctrico y magn\u00e9tico por regiones del espacio que no son homog\u00e9neas. Vamos, que pasar del vac\u00edo a una gota de agua no es muy homog\u00e9neo que digamos. \u00bfC\u00f3mo resolvemos ese problema?<\/span><\/p>\n

Bien, la idea pasa por resolver la funci\u00f3n de onda en el medio que hay por fuera de la part\u00edcula, hacer otro tanto en el medio interior (esa es nuestra vaca esf\u00e9rica), y finalmente relacionar ambas funciones. Ese \u201cfinalmente\u201d suele ser de lo m\u00e1s complicado, pero de nuevo el hecho de que todo sea tan bonitamente esf\u00e9rico nos da una relaci\u00f3n que nos simplifica el problema.<\/span><\/p>\n

La relaci\u00f3n proviene del hecho siguiente: el campo electromagn\u00e9tico va a su bola dentro de la part\u00edcula y tambi\u00e9n fuera, pero en la superficie de la part\u00edcula tiene que cumplir ciertas relaciones que se conocen como condiciones de contorno. El s\u00edmil ser\u00eda tener un equipo de construcci\u00f3n de t\u00faneles en Francia y otro en Espa\u00f1a. Cada uno de ellos perfora un t\u00fanel en los Pirineos, y resulta que pueden hacerlo como quiera, pero con la condici\u00f3n de que en un punto exacto y a una hora exacta ambos t\u00faneles han de unirse. Esa ser\u00eda su condici\u00f3n de contorno.<\/span><\/p>\n

En el caso de un t\u00fanel real, la \u201ccondici\u00f3n de contorno\u201d se hace lo m\u00e1s sencilla posible: los tramos del t\u00fanel son rectos, los dos equipos de perforaci\u00f3n se encuentran uno frente al otro (aunque con una monta\u00f1a por delante), y en ese caso no se sabe bien c\u00faando se empalmar\u00e1n los dos tramos. Se puede hacer una estimaci\u00f3n, claro, pero luego todo cambia por mil problemas: fallos de las m\u00e1quinas, v\u00edas de agua, roca m\u00e1s dura de lo previsto\u2026 as\u00ed que los dos presidentes tienen que tener agendas abiertas si es que desean ir a hacerse la foto cuando haya terminado la perforaci\u00f3n del t\u00fanel.<\/span><\/p>\n

La dispersi\u00f3n de luz es mucho m\u00e1s exigente que eso. Si te acercas a la superficie de la part\u00edcula por un lado (el exterior) y por otro (el interior), tanto el vector de campo el\u00e9ctrico como el de campo magn\u00e9tico han de llegar a la superficie de forma perpendicular a dicha superficie. Obligatoriamente. De otro modo el fantasma de Maxwell se nos aparece y no querr\u00e1s verlo enfadado, te lo aseguro.<\/span><\/p>\n

Lo que sigue es matem\u00e1ticamente complicado pero realmente es f\u00e1cil de describir. B\u00e1sicamente ponemos los campos interior y exterior como combinaci\u00f3n de esas funciones que vimos antes (polinomios asociados de Legendre, funciones de Bessel), y a continuaci\u00f3n imponemos la condici\u00f3n de contorno a la superficie. Como la part\u00edcula es esf\u00e9rica, el resultado es un conjunto de relaciones entre funciones de Bessel dentro y fuera de la part\u00edcula; y a partir de ah\u00ed podemos obtener la matriz de M\u00fcller, de la que os habl\u00e9 hace alg\u00fan tiempo y que contiene toda la informaci\u00f3n relevante sobre la part\u00edcula a efectos de dispersar luz.<\/span><\/p>\n

Ya estamos cerca, as\u00ed que prosigamos. Sean m<\/i>p<\/i><\/sub> y m<\/i>m<\/i><\/sub> los \u00edndices de refracci\u00f3n de la part\u00edcula y del medio material en que se encuentra (aire, agua, el vac\u00edo, lo que sea). La cantidad m<\/i>=m<\/i>p<\/i><\/sub>\/m<\/i>m<\/i><\/sub> es el \u00edndice de refracci\u00f3n relativo. Si la luz incidente tiene longitud \u03bb<\/span>, nos inventamos una cantidad llamada n\u00famero de onda: k=2\u03c0\/\u03bb<\/span>. Vamos tambi\u00e9n a suponer que la part\u00edcula no es magn\u00e9tica, o como m\u00ednimo que la permeabilidad magn\u00e9tica del medio y la part\u00edcula son iguales (as\u00ed obtendremos m\u00e1s f\u00e1cilmente una soluci\u00f3n).<\/span><\/p>\n

Ahora un peque\u00f1o rinc\u00f3n para la confusi\u00f3n. Siempre hemos usado la letra x para indicar la componente x en un sistema de coordenadas cartesianas. Por desgracia, hay muchas m\u00e1s variables en f\u00edsica que letras disponibles (y mira que hemos echado mano de letras latinas, griegas, hebreas, con sub\u00edndices, super\u00edndices, negrilla, cursiva y de todo, pero ni aun as\u00ed nos basta), as\u00ed que vamos a usar x para indicar el tama\u00f1o de la part\u00edcula. Ser\u00e1 x<\/i>=kr=<\/i>2\u03c0r\/\u03bb<\/span>, es decir, la circunferencia de la part\u00edcula divididad por la longitud de onda. A veces se le llama par\u00e1metro de tama\u00f1o<\/b>.<\/span><\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9 esa cantidad tan aparentemente rara? Pues porque las condiciones de contorno dependen de esa cantidad, pero no de la longitud de onda o el radio directamente. El propio concepto de grande o peque\u00f1o cambia. En una entrada anterior vimos la dispersi\u00f3n de Rayleigh, y dije que era para part\u00edculas peque\u00f1as. \u00bfPero qu\u00e9 es una part\u00edcula peque\u00f1a? El tama\u00f1o no se mide en relaci\u00f3n a nosotros sino a la longitud de la onda que le lancemos. Una bacteria ser\u00e1 muy peque\u00f1a para una onda de radio pero enorme para los rayos ultravioleta. A partir de ahora, los conceptos de peque\u00f1o y grande vienen relacionados con la longitud de onda, y lo calibraremos con el valor de x. \u00bfQue x vale 0,001? Pues es dispersi\u00f3n de Rayleigh aunque la part\u00edcula mida un kil\u00f3metro.<\/span><\/p>\n

Y vamos por fin a lo que nos interesa, que es la matriz de M\u00fcller. Las condiciones de contorno nos ayudan. Primero calculamos las siguientes cantidades:<\/span><\/p>\n

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(jn<\/sub>, yn<\/sub> son las funciones esf\u00e9ricas de Bessel, y la tilde ‘ indica una derivada). Luego tomamos los polinomios esf\u00e9ricos de Legendre de orden n y grado 1, y definimos las funciones angulares:<\/span><\/p>\n

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Tercer paso, hacemos las siguientes sumas infinitas:<\/span><\/p>\n

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\u00a1Y ya lo tenemos! Porque la matriz de M\u00fcller (salvo por una constante de normalizaci\u00f3n que aqu\u00ed no importa) es<\/span><\/p>\n

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donde, como puede verse, la mitad de los elementos de matriz son cero (b\u00e1sicamente por motivos de simetr\u00eda), y los seis elementos independientes no nulos son:<\/span><\/p>\n

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donde |a| indica m\u00f3dulo y el s\u00edmbolo del sombrerito indica el complejo conjugado (recordemos que tanto S1<\/sub> como S2<\/sub> son cantidades complejas).<\/span><\/p>\n

De esa manera, si calculamos esas funciones S1<\/sub> y S2<\/sub> lo tenemos todo hecho. Y lo mejor de todo es que esas funciones s\u00f3lo dependen del tama\u00f1o de la part\u00edcula, de la longitud de onda incidente, de la direcci\u00f3n de salida de la luz y de los \u00edndices de refracci\u00f3n de part\u00edcula y medio. Ya est\u00e1. No importa si la luz incidente es una onda plana o no, si est\u00e1 polarizada, si hace el pino con las orejas. Pueden lanzarnos todo tipo de ondas, que ya le tenemos la matriz de M\u00fcller lista.<\/span><\/p>\n

Resumen para dummies<\/b>. La dispersi\u00f3n de luz para part\u00edculas esf\u00e9ricas homog\u00e9neas puede obtenerse a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para ello hay que calcular diversas funciones como los polinomios asociados de Legendre y las funciones esf\u00e9ricas de Bessel. Solamente hay que conocer la composici\u00f3n de la part\u00edcula y del medio, el tama\u00f1o de la esfera (relativa a la longitud de onda) y poquito m\u00e1s.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ya tenemos part\u00edculas no muy peque\u00f1as ni muy grandes. \u00bfC\u00f3mo estudiar sus propiedades de dispersi\u00f3n? Primero paso: suponer que son esf\u00e9ricas. S\u00ed, ya estamos con el chiste<\/p>\n","protected":false},"author":35,"featured_media":353,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_genesis_hide_title":false,"_genesis_hide_breadcrumbs":false,"_genesis_hide_singular_image":false,"_genesis_hide_footer_widgets":false,"_genesis_custom_body_class":"","_genesis_custom_post_class":"","_genesis_layout":"","footnotes":""},"categories":[11],"tags":[40,12],"class_list":{"0":"post-352","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-scattering-101","8":"tag-mie","9":"tag-scattering","10":"entry"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/352","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/users\/35"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=352"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/352\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":395,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/352\/revisions\/395"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/media\/353"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=352"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=352"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugr.es\/quirantes\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=352"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}