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Huellas en el aire

Blog de investigación de Arturo Quirantes Sierra

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Huellas de luz (7): las vacas esféricas de Gustav Mie

25 mayo, 2018 por Arturo Quirantes Deja un comentario

Muuuuuu (y no os quejéis, que mi primo es esferoidal)

Bien, ha llegado la hora de ponernos serios. A partir de ahora nada de simplificaciones tipo partículas muy pequeñas, o muy grandes. Vamos a ver cómo dispersan luz las partículas esféricas del tamaño que sea.

La resolución de este problema está ligado al nombre de Gustav Mie, quien en 1908 publicó un artículo describiendo lo que hoy conocemos por “teoría de Mie” y que describe la dispersión de luz por partículas esféricas. Cien años largos y todavía la estamos usando, fundamentalmente porque es mucho más sencilla (relativamente hablando, claro) que otras teorías para partículas no esféricas, y es un buen punto de partida para tratar problemas de dispersión de luz. Recuerdo que incluso traduje el artículo original del alemán (oh, divina juventud), lo que me dio acceso directo a esta teoría y al modo de trabajar de Mie. Usaré tanto el original de Mie como otros trabajos clásicos como el libro de Bohren-Huffman, que ya usé en otras entradas anteriores.

Por cierto, Mie se pronuncia “mi”, no “mai”, porque es un apellido alemán. Vale, empezamos.

Mie quería explicar el color de algunas suspensiones de oro en estado coloidal (en el que las partículas son muy pequeñas pero no tanto que lleguen al tamaño atómico). El punto de partida lara la explicación son las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético. Y resolver esas ecuaciones son palabras mayores.

¿Por qué? Pues porque no son las típicas ecuaciones dondo conoces algunas variables y despejas las que te faltan. Por ejemplo, la ecuación para el período T de un péndulo simple de longitud L es T = 2π*raíz(g/L), donde g es la aceleración de la gravedad. En mi laboratorio de prácticas los alumnos miden T y L, lo que les permite obtener g. Fácil y expeditivo.

Las ecuaciones de Maxwell no se pueden “despejar”, no son de esa clase. Os voy a poner un ejemplo. Digamos que en una región del espacio tenemos un campo magnético vectorial B, que tiene tres componentes (Bx, By, Bz). Cada componente dependerá del lugar en que nos encontremos, es decir, será función de las coordenadas espaciales. Eso se escribe como Bx(x,y,z), y lo mismo para By y Bz. Puesto que Bx es función de x,y,z, eso significa que puedo derivar Bx con relación a x, con relación a y o con relación a z. La derivada de Bx con relación a x se escribe como ∂Bx/∂x (ojo con ese signo de división /, que en este caso NO indica un cociente, es sólo notación).

Vale, pues lo que nos dice una de las ecuaciones de Maxwell es que las componente del vector B tienen que cumplir la siguiente relación:

A partir de esa información, ¿podemos saber lo que valen Bx, By y Bz? La respuesta estándar es: ¡¡NI DE COÑA!! Es como si Sherlock Holmes buscase al profesor Moriarty y la única información que tuviese de él fuese “bueno, tiene dos piernas, tal vez pasó las paperas y ahora vive en una ciudad cuyo nombre no comienza por R”

Evidentemente hay que currárselo mucho, mucho más para poder llegar a alguna parte. Las ecuaciones de Maxwell, usadas con astucia, pueden resolverse al menos en algunos casos de forma exacta, en otros de forma aproximada.

Mie logró resolverlo de forma exacta. Para ello utilizó coordenadas esféricas, no cartesianes. Es decir, en lugar del tradicional (x,y,z) utilizó otro conjunto de tres coordenadas. Para simplificarlo, os daré un ejemplo: la latitud y longitud, junto con la distancia al centro de la Tierra, forman un sistema de coordenadas esféricas. Hay muchas formas de indicar la posición de un cuerpo, es decir, muchos tipos de sistemas de coordenadas, y resulta que en coordenadas esféricas sí podemos resolver el problema de la dispersión de luz para partículas esféricas.

Vamos, pues, a usar un sistema de tres coordenadas (r,θ,φ), donde para seguir el ejemplo anterior r es la distancia al origen de coordenadas, θ es la longitud y φ es la latitud. Algo así:

ACLARACIONES MENORES PERO IMPORTANTES:

– En realidad, esa φ que aparece en la figura es la co-latitud, es decir, 90º-latitud, pero ese detalle no importa en lo que sigue.

– Se supone que el haz de luz incidente viene por la parte negativa del eje z y sale dispersa en la dirección indicada por el vector R.

– Habitualmente la dispersión de Mie usa un sistema de coordenadas levemente distinto, en el que los ángulos θ y φ están intercambiados respecto al dibujo de arriba. Por lo que puedo ver, se trata de una elección hecha por el propio Gustav Mie en su artículo de 1908, y todos los demás hemos seguido esa notación desde entonces. No importa, con tal que sepamos qué notación estamos usando. Fijaos si importa poco, que después de tantos años trabajando en el tema me doy cuenta AHORA, al escribir este párrafo, del cambio de notación.

Voy a simplificar mucho porque tampoco es cosa de aburrir sin necesidad (cuando yo aburro, siempre hay una necesidad). Comenzaremos yéndonos a una región del espacio compuesta por un medio homogéneo e isótropo; esto es, que tiene las mismas propiedades dentro de esa región, y donde no hay una dirección privilegiada. Nuestro objetivo es obtener una función que denotaremos ψ, que es un escalar (no un vector) y que llamaremos “función escalar de ondas” (IMPORTANTE: a pesar de la similitud, NO tiene nada que ver con la función de onda que se usa en mecánica cuántica).

Lo bueno de esa función ψ es que, haciéndole algunas perrerías (bueno, derivándola y tal pascual) podemos obtener los vectores del campo eléctrico E y de campo magnético B, así que resolver el problema que nos ocupa pasa por determinar el valor de ψ. Lo que en apariencia no es sencillo, porque las ecuaciones de Maxwell nos dicen que esa función debe cumplir con esta ecuación. Tomad aire, chicos:

Pero ahora viene lo bueno. Resulta que, en coordenadas esféricas, este problema es separable. Eso significa que puedo escribir la función ψ como producto de otras tres funciones: una que sólo depende de r, otra que sólo depende de θ y una tercera que sólo depende de φ:

Tener una ecuación separable es como que te toque la lotería, así que vamos a cobrar el premio. La consecuencia imnediata de la separación de soluciones es que la ecuación diferencial se nos convierte en tres ecuaciones muy sencillas de resolver. Bueno, mejor diré bastante más sencillas. Vamos a verlos.

Antes, sin embargo, un aviso: realmente no hay una única solución. Es decir, esas tres funciones separables no son tres, sino muchas. No importa con tal que sepamos cuáles són y como se calculan. Para indicar todas esas soluciones utilizaremos dos números naturales: n (=0,1,2…) y m (=-n,-n+1 … n-1,n)

Primero vamos a lo sencillo, la coordenada φ. Las funciones Φm son del tipo cos(mφ), sen(mφ). Más sencillo, imposible, ¿verdad? Lástima que lo que sigue se complique algo más. Las soluciones Rn(r) dependen del número entero n y reciben el nombre de funciones esféricas de Bessel. No son facilonas de manejar pero se pueden calcular, y el proceso de cálculo es interesante, tanto que lo comentaremos más en profundidad, pero lo dejaremos para otro día. Finalmente, las funciones Θm,n suelen escribirse como Pnm y se llaman polinomios asociados de Legendre.

Vale, ahora vamos a hacer una pausa y recapitular. Lo que hemos hecho es describir los campos eléctricos y magnéticos en una región del espacio homogénea, y ponerlos como combinación de funciones que podemos calcular (esos polinomios asociados de Legendre, las funciones esféricas de Bessel, y por supuesto los senos y cosenos). Pero eso de estar en “una región homogénea” es muy aburrido. Nosotros lo que queremos es estudiar dispersión de luz por partículas, y eso esencialmente consiste en hacer pasar nuestros campos eléctrico y magnético por regiones del espacio que no son homogéneas. Vamos, que pasar del vacío a una gota de agua no es muy homogéneo que digamos. ¿Cómo resolvemos ese problema?

Bien, la idea pasa por resolver la función de onda en el medio que hay por fuera de la partícula, hacer otro tanto en el medio interior (esa es nuestra vaca esférica), y finalmente relacionar ambas funciones. Ese “finalmente” suele ser de lo más complicado, pero de nuevo el hecho de que todo sea tan bonitamente esférico nos da una relación que nos simplifica el problema.

La relación proviene del hecho siguiente: el campo electromagnético va a su bola dentro de la partícula y también fuera, pero en la superficie de la partícula tiene que cumplir ciertas relaciones que se conocen como condiciones de contorno. El símil sería tener un equipo de construcción de túneles en Francia y otro en España. Cada uno de ellos perfora un túnel en los Pirineos, y resulta que pueden hacerlo como quiera, pero con la condición de que en un punto exacto y a una hora exacta ambos túneles han de unirse. Esa sería su condición de contorno.

En el caso de un túnel real, la “condición de contorno” se hace lo más sencilla posible: los tramos del túnel son rectos, los dos equipos de perforación se encuentran uno frente al otro (aunque con una montaña por delante), y en ese caso no se sabe bien cúando se empalmarán los dos tramos. Se puede hacer una estimación, claro, pero luego todo cambia por mil problemas: fallos de las máquinas, vías de agua, roca más dura de lo previsto… así que los dos presidentes tienen que tener agendas abiertas si es que desean ir a hacerse la foto cuando haya terminado la perforación del túnel.

La dispersión de luz es mucho más exigente que eso. Si te acercas a la superficie de la partícula por un lado (el exterior) y por otro (el interior), tanto el vector de campo eléctrico como el de campo magnético han de llegar a la superficie de forma perpendicular a dicha superficie. Obligatoriamente. De otro modo el fantasma de Maxwell se nos aparece y no querrás verlo enfadado, te lo aseguro.

Lo que sigue es matemáticamente complicado pero realmente es fácil de describir. Básicamente ponemos los campos interior y exterior como combinación de esas funciones que vimos antes (polinomios asociados de Legendre, funciones de Bessel), y a continuación imponemos la condición de contorno a la superficie. Como la partícula es esférica, el resultado es un conjunto de relaciones entre funciones de Bessel dentro y fuera de la partícula; y a partir de ahí podemos obtener la matriz de Müller, de la que os hablé hace algún tiempo y que contiene toda la información relevante sobre la partícula a efectos de dispersar luz.

Ya estamos cerca, así que prosigamos. Sean mp y mm los índices de refracción de la partícula y del medio material en que se encuentra (aire, agua, el vacío, lo que sea). La cantidad m=mp/mm es el índice de refracción relativo. Si la luz incidente tiene longitud λ, nos inventamos una cantidad llamada número de onda: k=2π/λ. Vamos también a suponer que la partícula no es magnética, o como mínimo que la permeabilidad magnética del medio y la partícula son iguales (así obtendremos más fácilmente una solución).

Ahora un pequeño rincón para la confusión. Siempre hemos usado la letra x para indicar la componente x en un sistema de coordenadas cartesianas. Por desgracia, hay muchas más variables en física que letras disponibles (y mira que hemos echado mano de letras latinas, griegas, hebreas, con subíndices, superíndices, negrilla, cursiva y de todo, pero ni aun así nos basta), así que vamos a usar x para indicar el tamaño de la partícula. Será x=kr=2πr/λ, es decir, la circunferencia de la partícula divididad por la longitud de onda. A veces se le llama parámetro de tamaño.

¿Por qué esa cantidad tan aparentemente rara? Pues porque las condiciones de contorno dependen de esa cantidad, pero no de la longitud de onda o el radio directamente. El propio concepto de grande o pequeño cambia. En una entrada anterior vimos la dispersión de Rayleigh, y dije que era para partículas pequeñas. ¿Pero qué es una partícula pequeña? El tamaño no se mide en relación a nosotros sino a la longitud de la onda que le lancemos. Una bacteria será muy pequeña para una onda de radio pero enorme para los rayos ultravioleta. A partir de ahora, los conceptos de pequeño y grande vienen relacionados con la longitud de onda, y lo calibraremos con el valor de x. ¿Que x vale 0,001? Pues es dispersión de Rayleigh aunque la partícula mida un kilómetro.

Y vamos por fin a lo que nos interesa, que es la matriz de Müller. Las condiciones de contorno nos ayudan. Primero calculamos las siguientes cantidades:

(jn, yn son las funciones esféricas de Bessel, y la tilde ‘ indica una derivada). Luego tomamos los polinomios esféricos de Legendre de orden n y grado 1, y definimos las funciones angulares:

Tercer paso, hacemos las siguientes sumas infinitas:

¡Y ya lo tenemos! Porque la matriz de Müller (salvo por una constante de normalización que aquí no importa) es

donde, como puede verse, la mitad de los elementos de matriz son cero (básicamente por motivos de simetría), y los seis elementos independientes no nulos son:

donde |a| indica módulo y el símbolo del sombrerito indica el complejo conjugado (recordemos que tanto S1 como S2 son cantidades complejas).

De esa manera, si calculamos esas funciones S1 y S2 lo tenemos todo hecho. Y lo mejor de todo es que esas funciones sólo dependen del tamaño de la partícula, de la longitud de onda incidente, de la dirección de salida de la luz y de los índices de refracción de partícula y medio. Ya está. No importa si la luz incidente es una onda plana o no, si está polarizada, si hace el pino con las orejas. Pueden lanzarnos todo tipo de ondas, que ya le tenemos la matriz de Müller lista.

Resumen para dummies. La dispersión de luz para partículas esféricas homogéneas puede obtenerse a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para ello hay que calcular diversas funciones como los polinomios asociados de Legendre y las funciones esféricas de Bessel. Solamente hay que conocer la composición de la partícula y del medio, el tamaño de la esfera (relativa a la longitud de onda) y poquito más.

Archivado en: Scattering 101 Etiquetado como: Mie, Scattering

Cuando el ansia viva nos gana

11 mayo, 2018 por Arturo Quirantes Deja un comentario

Hay que llenar la saca, vale, pero sin aaaaaansia

Me siento orgulloso de mi Universidad y del trabajo que hago en ella, y todos los días procuro dar lo mejor de mí en mi tarea docente. La enseñanza bíblica de enseñar al que no sabe me ha llevado a extender mi labor docente hacia el campo de la divulgación científica, donde he escrito libros, publicado blogs, ganado premios, salido en la tele. Especialmente penosa es la tarea de desenmascarar triquiñuelas pseudocientíficas, sobre todo cuando los proponentes intentan cobijarse bajo el paraguas de la respetabilidad universitaria; pero aún creo que la Universidad tiene una responsabilidad social hacia con los ciudadanos que la mantienen, así que si hay que ir se va.

En diversas ocasiones he denunciado públicamente estas actividades. La última vez fue con relación a un curso de reiki en la Universidad Rey Juan Carlos. Hoy me toca hacer lo mismo, y lamento decir que la universidad en cuestión es la mía propia, la Universidad de Granada, donde me gano el sueldo enseñando.

El caso es que este lunes pasado tuve una sesión de prácticas de laboratorio con estudiantes de primero de Física. Cumplida la misión me dirigía a la salida, y cuando llego al final del pasillo me encuentro con esta desagradable sorpresa:

No me sorprende ver este tipo de carteles porque son ubicuos. Ya sabéis, una imagen new age para anunciar algo relacionado con actividades holísticas con nombrajos en inglés de moda (aunque no necesariamente útiles o con base científica). Lo que me duele es ver el logotipo de la UGR junto al encabezamiento “Título propio de la Universidad de Granada” Que la gente se gaste su dinero en cursos de wellness y coaching es cosa de ellos, pero que sea una universidad pública la que se aproveche de ello no me gusta nada.

Por supuesto, no pienso criticar sin antes informarme, así que me fui a la web del Diploma de Posgrado en Health & Wellness Coaching. Aparece en la sección “Másteres y Posgrados”, lo que ya me suena gordo. En efecto, no es un cursito de fin de semana con la promesa de un crédito ECTS. Se trata de un curso de 625 horas, nada menos que 25 créditos ECTS extendidos a lo largo de nueve meses y a celebrar en la Facultad de Medicina de la UGR. Esto último transmite el claro mensaje de que tiene que ser un curso serio porque oye, se da en la facultad de medicina nada menos. De hecho, parece estar orientado a personal de ciencias de la salud.

El curso se vende con mucha palabrería que suena, cómo diría, poco académica. Se habla de aproximación eficiente al plano profundo de las personas, de interiorización de actitudes de liderazgo coach, de cultura proactiva, de pasar de paciente pasivo a agente activo de la salud, de formación transversal (todo lo anterior son citas literales de la web del curso), y en general se intenta convencer a los profesional de ciencias de la salud de que no pueden pasarse sin este curso.

Un vistazo al temario te deja claro que el curso no es un simple sacadineros inofensivo. Entre otras cosas, habla de:

– Programación neurolingüística (PNL), una actividad cuestionada, criticada, carente de base científica y considerada por algunos como una estafa

– Manejo de la energía. Como físico me parece bien aprender a manejar la energía, me refiero a la de verdad; pero incluir “manejo de la energía” en un módulo llamado “competencias de coaching” me indica que esa “energía” está más cerca del pensamiento pseudocientífico

– Terapias de salud que rayan en la pseudociencia (cuando no entran directamente) como la hipnosis, la acupuntura o la quiropráctica. ¡Quiropráctica! ¿Es que no hemos aprendido nada del caso de Kevin Sorbo?

Si hay algún sitio donde las pseudociencias no deberían tener cabida es en la Universidad pública. Ya sabemos todos que hay carencias económicas, cómo dudarlo siquiera, pero no podemos permitir que el ansia por cuadrar las cuentas nos pueda. No podemos, no debemos resolver nuestros problemas económicos al coste de perder nuestra reputación y credibilidad por unas monedas.

En realidad, por un buen montón de monedas. El curso tiene un coste de 1.350,13 euros, que multiplicado por las treinta plazas ofertadas, y dejando aparte el 13% que dedican a becas, nos da un total de 35.238 euros, a repartir entre la Universidad y -supongo yo- las dos empresas “coordinadoras” del curso: hicoaching y Tribal Trainings. En el elenco docente aparecen profesores de las universidades de Granada y Almería, la Escuela Andaluza de Salud Pública, y otras entidades. Me ha llamado particularmente la atención un tal Manuel Zapata, al que acompaña la divisa “Máster Universidad Rey Juan Carlos”. No estoy seguro de si se tratará de este señor y de este máster, pero si es así podemos echarnos a temblar, al menos si la mitad de lo que dice su currículum es cierto: estudioso de las ciencias del alma, master en Astromedicina y Astrología psicológica, formación en terapia sistémica de constelaciones familiares, experto en configuraciones arquetípicas. Terminología pseudocientífica en estado puro.

Esto es lo que ofrece la Universidad de Granada por un precio de cuatro cifras.

Esto es lo que mis alumnos ven en los espacios de información junto a mensajes de excelencia docente y calidad académica.

Ahora a ver con qué cara les digo que la Universidad que les está formando vende este tipo de cursos como algo serio, oficial y útil.

No me parece honrado. Nos avergüenza a todos los que trabajamos aquí. Y por esto lo estoy denunciando en un blog. Concretamente, en mi blog oficial de la Universidad de Granada. Hasta ahora lo he centrado en mis actividades de investigación, pero creo que este es un tema interno muy serio, así que aquí lo tenéis.

A continuación pueden pasar varias cosas. La Universidad de Granada puede pasar olímpicamente de esta entrada y esperar a que se acallen las críticas para continuar con el curso; puede y encogerse de hombros y salirse por soleares (ya sabéis, el habitual “solamente cedemos locales”, “solamente participamos de lejos”, “solamente ayudamos a abrir la mente y no ser tan estrictos en la ortodoxia”); puede retirar el curso y tomarse en serio el problema de la infiltración de la pseudociencia en la Universidad; y claro, también puede llamarme al orden y leerme la cartilla (no sería la primera vez). Ya veremos qué pasa.

Pase lo que pase, sinceramente lamento las molestias, pero molestar es la misión de los blogs. Y de los profesores universitarios.

POSTDATA. Justo antes de que este blog se publique me entero de que hay un curso muy parecido en la Universidad Pablo de Olavide. El título es idéntico, el precio casi igual, también es una primera edición, los contenidos som casi iguales (UGR, UPO), uno de los directores coincide (y está afiliado a la empresa hicoaching), y al menos tres de los profesores son comunes a ambos cursos; lo que sugiere que se trata del mismo curso en dos universidades públicas distintas de Andalucía.

Archivado en: Universidad Etiquetado como: Coaching, Pseudociencia, Wellness

Huellas de luz (6): fabricando un arcoíris

20 abril, 2018 por Arturo Quirantes Deja un comentario

Qué bien que el país de los Teletubbies tenga líquidos dispersivos. Y natillas. Y abrazos fuertes

Hemos visto cómo dispersa la luz una partícula muy pequeña. Ahora nos vamos al otro extremo.

Cuando un objeto es mucho, mucho mayor que su longitud de onda estamos en lo que se denomina óptica geométrica. Eso quiere decir que podemos tratar la luz como rayos compuestos por partículas llamadas fotones; bueno, como rayos y punto, no hace falta detallar lo que hay en el interior.

La óptica geométrica fue impulsada por Isaac Newton. A pesar de que había experimentos que la contradecían, como la interferencia o la polarización, Newton se mantuvo en sus trece; en aquella época regía los destinos de la física europea con mano de hierro y, reconozcámoslo, cuando quería se comportaba como un cachocabrón de esos que no quieres encontrarte en un callejón oscuro (sus guerras con Leibnitz sobre la invención del cálculo integral son legendarias). A pesar de ello se fue imponiendo la concepción de la luz como ondas, lo que dio lugar a la llamada óptica física. Por cierto que odio ese término, porque da a entende que la otra, la geométrica, no es física, y tan física es una como otra.

En cualquier caso, podemos aplicar óptica geométrica como primera aproximación cuando la partícula es muy grande. El motivo es que, si eres mucho más grandote que la longitud de la onda, no puedes notar que la luz son ondas.

Vamos a ilustrar lo que sigue usando una partícula esférica (para otra geometría de partícula la situación será más difícil de analizar). Digamos que tenemos una esfera opaca, de modo que la luz no puede entrar. En ese caso sería como un espejo esférico, y podríamos examinar la luz saliente sin más que aplicar la habitual ley de la reflexión: ángulo de incidencia igual a ángulo de reflexión.

Nada de particular. Pero ahora supongamos que la luz pueden entrar en la partícula (porque sea transparente, por ejemplo). En ese caso las cosas se ponen interesantes. Cuando el haz de luz choca contra la superficie de la partícula, parte del haz se refleja y parte penetra en el interior. La parte que entra ha cambiado de dirección, que podemos conocer mediante la ley de Snell de la refracción. Ya sabéis, eso de ni*sen(θi)=nt*sen(θt). Si el haz de luz viene del aire, ni es aproximadamente igual a 1, nt es el índice de refracción de la partícula, y los ángulos son los formados por los haces de luz (incidente y refractado) con la dirección perpendicular a la superficie.

Bueno, vale, aquí va un dibujito:

[Fuente original: libro “Absorption and Scattering of Light by Small Particles” de Craig F. Bohren y Donald R. Huffman, imagen 7.1, página 167]

En la imagen el haz de luz entrante (incident) entra en el punto 1, se desvía y acaba tocando de nuevo la superficie en el punto 2. Nuevamente el haz de luz se divide en dos partes, una que sale de la partícula (directly transmitted) y otra que se refleja. La luz puede seguir este proceso varias veces, como el haz que sale en el punto 3 (transmitted after one internal reflection).

¿Cuántas veces puede un haz de luz rebotar en la partícula? Muchas, pero tened en cuenta una cosa: cada vez que toca la superficie (en los puntos 1, 2, 3…) el haz rebotado pierde energía, en parte porque el rayo saliente tiene energía, en parte porque el material suele ser más o menos absorbente. Eso significa que tendremos rayos de luz salientes en direcciones concretas. Pero claro, esas direcciones dependerán de la dirección de entrada, que a su vez depende del punto en el que el haz de luz toca la partícula. El resultado es un jaleo.

Pero podemos simplificar. Se puede ver en qué direcciones la intensidad de luz saliente es máxima. Vamos a suponer que el ángulo θ=0 representa la dirección de la luz incidente, de modo que θ=180º sería luz que volviese en sentido opuesto. Vamos a suponer un índice de refracción para la partícula de n=1,33. Bien, haciendo algunos cálculos (que os voy a ahorrar), sale lo siguiente:

– En primer lugar, el haz de luz que se refleja sin entrar en la partícula (reflected) sale rebotado y se lleva el 6,6% de la energía dispersa por la partículas

– El haz de luz “directly transmitted” desaparece

– El primer haz saliente que puede verse es el que ha sufrido una sola reflexión interna; en la figura es el que sale por el punto 3, el “transmitted after one internal reflection”. Su ángulo de salida es de θ=138º, es decir, casi rebota hacia atrás, y ese haz lleva el 88% de la luz dispersada por la partícula.

– El siguiente haz saliente es el que sufre dos reflexiones internas (no aparece en el dibujo), saldrá a un ángulo θ=129º, y será responsable del 4% de la luz dispersa.

– El tercer haz saliente… bueno, podríamos seguir así, pero no tiene sentido. Este tercer haz saliente tiene una intensidad que es el 0,6% de la luz dispersa; el cuarto lleva el 0,17% de luz dispersa, y así sucesivamente.

Bien, ahora vamos a ver cómo se ve eso.

Digamos que nuestra partícula se encuentra en el centro de una circunferencia imaginaria. La luz entra en la partícula y luego sale, y la dirección que tome define el ángulo de salida. Pues bien, cuando el observador se ponga en algunos de los ángulos que se han mencionado antes, verá un destello de luz más brillante, algo así:

Como vimos antes, para el ángulo 138º la intensidad de luz dispersa es máxima, luego hay un segundo ángulo de dispersión con luz brillante (pero menos) a 129º, y después hay otros que no vamos a poner aquí porque su intensidad es muy baja.

Eso en el plano que indica la figura. ¿Y si estuviese por encima de ese plano? Pues lo mismo. Lo único que importa aquí es que el ángulo de desviación sea alguno de esos dos.

Bien, ahora supongamos que esas bolitas esféricas son de agua. De hecho, no es casualidad haber escogido el índice de refracción sea 1,33 ya que es aproximadamente el del agua. Vale, pues tenemos gotitas de agua en la atmósfera, muchas de ellas. Cada partícula definirá un plano distinto con la luz incidente y la dispersa, y el resultado es que, al mirar al cielo, no veremos un punto brillante a 138º y otro a 129º, sino que ahora son bandas, es decir, circunferencias de más o menos grosor. Lo que veríamos sería un anillo brillante de color blanco, otro anillo más débil circunscribiendo al anterior…

Pero eso NO es lo que vemos tras un día lluvioso. Y el motivo es que el agua no tiene el mismo índice de refracción para todas las longitudes de onda. Como vimos en la entrada “Propiedades particulares”, el índice de refracción en el agua varía entre 1,331 y 1,345 en el visible. Eso significa que el haz de luz entrante se divide en haces de colores, y al salir de la partícula cada uno de esos colores tomará una dirección distinta. La diferencia es sutil pero de una gran belleza.

La banda de aburrida luz blanca se ha convertido en un maravilloso arcoíris. Y, si la visibilidad es buena, tendremos un doble arcoíris. Tenía una foto de uno que vi en Granada hace algún tiempo, pero como de costumbre las cosas nunca están a mano cuando más las necesitas, así que tiraré de Google Images:

Como véis, también tenemos zonas brillantes (dentro del arcoíris principal) y oscuras (entre ambos arcoíris), pero en lo fundamental tenemos lo que os dije: dispersión de la luz en partículas esféricas grandes.

¿Cuántos arcoíris pueden verse? Como he dicho, si tenemos suerte y hay buena visibilidad podemos ver dos (que, por cierto, tienen el orden de los colores invertidos, fijaos). Con mucha suerte, tres. No sé cuántos pueden verse o dónde está el récord en esto, pero en el laboratorio se pueden hacer virguerías con los arcoíris. O eso dicen.

Bien, ahora vamos para nota. Tampoco es que haga falta, pero ya puestos…

Resulta que las gotitas de agua en suspensión aérea no son exactamente esféricas. El peso tiende a hacer que caen, y el aire las deforma un poco. El resultado es algo similar a lo que hemos visto, con pequeñas diferencias. Mi compañero bloguero de Naukas Francis Villatoro tiene, por si os interesan, datos de simulaciones por ordenador aquí.

Por cierto, hoy no he hablado de vectores de Stokes, de matrices de Müller, de polarización ni nada de eso. Bueno, también puede hacerse, pero prefiero dejaros con el buen sabor de boca de un hermoso arcoíris. El siguiente paso será estudiar partículas esféricas ni muy pequeñas ni muy grandes, y ahí sí haremos uso de esa parafernalia que os comenté en entradas anteriores. Tranquilos, no va a doler.

Resumen para dummies. La dispersión de la luz por una partícula esférica grande puede calcularse de modo sencillo desde la aproximación de óptica geométrica. Así podemos explicar, por ejemplo, esas bandas circulares de luz que aparecen en el cielo cuando ha llovido, y que gracias al carácter dispersivo del agua se nos muestra como brillantes arcoíris de colores.

[Etiquetas: scattering 101]

Archivado en: Scattering 101 Etiquetado como: Arcoíris, Óptica geométrica, Scattering

Huellas de luz (5): pequeñas pero matonas

5 abril, 2018 por Arturo Quirantes Deja un comentario

“Cariño, ¿por qué el cielo es azul?”

Siempre se ríen de los científicos porque hacen muchas aproximaciones, y de forma inevitable sale a relucir la vaca esférica en el vacío. Pues sí, somos amantes de las aproximaciones. Nos facilita mucho el trabajo, y también a vosotros. Primero resolvemos el problema en la forma más simplficada posible y luego vamos añadiendo complicaciones.

Es como escoger un coche. Tú no te levantas por la mañana pensando “sí, voy a necesitar un coche y ha de ser el Ford Veleta 1.2 Diesel Forges Edition” Lo primero que haces es pensar qué características ha de tener. No, lo primero es ver si tienes dónde aparcarlo, y sobre todo, si te va a alcanzar el precio. Te pones a pensar si quieres diésel o gasolina, qué diablos es eso del SUV, hasta qué punto trae cuenta un 4×4 en lugar de un monovolumen, qué potencia es la adecuada, qué accesorios deseas, si necesitas financiación… y luego te das cuenta de que se te sale de presupuesto, así que vuelta a evaluar todas las variables.

Algo así tenemos aquí. Vamos a estudiar la dispersión de la luz por partículas, así que comencemos por los casos más sencillos. El problema fundamental es que, cuando la longitud de la onda de luz es comparable al tamaño de las partículas que se encuentra, las interacciones son complejas y hay que dejarse allí el cerebro. ¿Pero y si no es así? ¿Y si la partícula es muy pequeña, o muy grande? Ah, amigo, entonces la cosa se hace mucho más fácil.

Vamos al caso de partícula muy pequeña, es decir, kd<<1, donde k era el número de onda de la luz (está bien, lo habéis olvidado, venga un recordatorio: k=2πλ) y d es algún tamaño característico de la partícula. En esas circunstancias hablamos de dispersión de Rayleigh.

En los libros que manejo, lo habitual es partir de las ecuaciones para dispersión en partículas esféricas y tomar el caso límite de radio tendente a cero. Prefiero hacerlo a la antigua usanza, tal y como el propio Rayleigh las dedujo. El método que usó es el que hoy llamamos análisis dimensional, y me encanta por su elegancia así que aquí va.

Ah, no, que no os he explicado lo que es el análisis dimensional. Básicamente viene a ser eso de no sumar peras y manzanas. Si tenemos una ecuación del tipo A+B+C=D, todas esas cantidades han de pertenecer a la misma magnitud, sea cual sea. No podemos sumar si A es velocidad, B es masa y C energía, ya que no tiene sentido comparar cantidades de magnitudes distintas. Una longitud de un metro es mayor que la de 54 centímetros, pero preguntar si un kilogramo es mayor que un minuto carece de sentido.

Vamos a dejar de lado el vector de Stokes por un momento y centrarnos en la intensidad de luz. Bien, pues nuestro amigo Rayleigh pensó en la dispersión de luz por partículas muy pequeñas. Su idea es que, en ese proceso de dispersión, el campo eléctrico incidente y el disperso se pueden relacionar como Es=A*Ei; donde “A” será una cantidad adimensional, es decir, un número sin más.

En este punto, el análisis dimensional te dice que pienses en qué factores pueden influir en A, es decir ¿de qué parámetros depende A? Rayleigh dijo que, en primer lugar, podría depender del volumen V de la partícula. También puede influir la distancia d de la partícula al punto donde observamos; la longitud de onda λ; la velocidad v con que se propaga la onda; las densidades del éter antes y después de la dispersión (sean D, D’); y otras cantidades que, siendo adimensionales, no podemos determinar mediante análisis dimensional.

En primer lugar, ¿qué es eso de “la densidad del éter”? En aquella época (hablamos de 1871) se creía que había un material impalpable y sutil llamado éter, que se creía necesario para explicar la propagación de ondas electromagnéticas. Ahora sabemos que ese éter no existe, y esa “densidad del éter” se correspondería con la cantidad que llamamos función dieléctrica.

Partimos, pues de algo del tipo A=f(V, d, λ,v, D, D’), es decir, que A es una función de esas seis variables.

Rayleigh decía que la densidad del éter dependía de la masa. Puesto que ninguna otra variable de las mencionadas depende de la masa, la única posibilidad es que A dependa del cociente adimensional D/D’. Cómo lo hace es algo que no podemos precisar, pero sigamos adelante.

Nos queda entonces A=f(V, d, λ,v)

A no puede depender de la velocidad de la luz. ¿Por qué? Pues porque v es la única cantidad que depende del tiempo, y como A no depende de la variable tiempo no puede haber dependencia con v. Vale, estrictamente sí podría haber dependencia entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y en la partícula (v), en forma de cociente c/v. Ese cociente es el índice de refracción real n. En efecto, ahora sabemos que A depende de n; más aún, depende del índice de refracción complejo m. Aun así, bien por Rayleigh.

Hemos llegado a A=f(V, d, λ). Vamos a asumir, como hizo Rayleigh, que A depende directamente de V; es decir, a mayor volumen de la partícula mayor campo eléctrico disperso. Eso no sucede siempre pero tiene sentido para partículas muy pequeñas, donde se puede suponer que las moléculas que producen la dispersión en la partícula original ondas con la misma fase. Vamos, que no hay interferencias entre ellas.

Estamos ahora como A=V*f(d, λ)

Se puede aplicar la ley de conservación de la energía para demostrar que el campo eléctrico dispersado depende de la distancia como “algo”/d. Para entenderlo pensad en toda la luz dispersa. Se trata de una cantidad constante pero que se va dispersando cada vez más conforme se aleje de la partícula. A una distancia d su energía se ha repartido por una superficie esférica de radio d, y como el radio de la esfera es proporcional a d2 su intensidad debe disisminuir como 1/d2. Es el mismo argumento que explica por qué una linterna ilumina cada vez menos a distancias crecientes: el haz se extiende por el espacio así que la luz decrece en intensidad. Y puesto que esa intensidad es proporcional al campo eléctrico, si la intensidad va como 1/d2 entonces el campo eléctrico decae como 1/d.

Hemos llegado a la expresión A=V*f(λ)/d

Digamos que f es una expresión del tipo C*λa, donde C es una constante adimensional. Como las dimensiones de V y d son L3 y L, respectivamente, eso significa que la ecuación de dimensiones nos da: L3*L-1*La=L0, lo que significa que A depende inversamente del cuadrado de la longitud de onda: A = Cosas/λ2

Y recordemos que A es la relación entre el campo eléctrico incidente y el disperso. Hemos concluido que el campo disperso decrece con el cuadrado inverso de la longitud de onda. Ahora bien, la intensidad del haz de luz es proporcional al cuadrado del campo. Eso significa que, en general, Id=Cosas/λ2.

Recopilando lo que hemos deducido hasta ahora, la intensidad de la luz dispersa en una dirección determinada por una partícula pequeña es del tipo:

Id = Cosas * V2/(d2*λ4)

Ese “cosas” incluye variables como el índice de refracción de la partícula y la dirección del haz de luz saliente, y no podemos saberlo con tan sólo el análisis dimensional. Aun así hay mucha información interesante:

– La dependencia con el cuadrado de la distancia d2 es algo conocido y sucede siempre que un haz de ondas electromagnéticas se esparce por el espacio. No es nuevo pero está bien que los planes salgan bien

– Lo de la dependencia con el cuadrado deo volumen de la partícula resulta novedoso, y nos dice cuál es la influencia del tamaño de la partícula. Fijaos que si dividiésemos una esfera en N fragmentos iguales, cada fragmento tendría un volumen V/N, con lo que dispersaría una luz que sería (V/N)2 veces menos intensa. Los N fragmentos dispersarían una luz igual a

Id = Cosas * N * (V/N)2/(d2*λ4) = Cosas * (V2 /N)/(d2*λ4)

Es decir, la luz dispersa es N veces menos que la que había antes. Eso quiere decir que, cuanto más finamente dividamos una partícula pequeña, menos luz dispersará. Interesante.

Pero lo mejor viene de la dependencia 1/λ4. Ese “cosas” es aproximadamente constante si el índice de refracción es constante, es decir, si el material es no dispersivo. Ese no suele ser el caso en general, pero podemos suponer que el índice es aproximadamente constante en luz visible. Vamos a suponer que la luz incidente sobre la partícula tiene un 50% de luz roja (longitud de onda 633 nm) y un 50% de luz azul (longitud de onda 488 nm). Si nos ponemos en una dirección y vemos la luz dispersa, veremos que tendrá una intensidad en luz azul de Id(azul) y una de luz roja ID(roja). ¿Seguirá la mezcla azul/rojo al 50%? Pues no. Fijaos. Si divido ambas intensidades de luz dispersa sale esto:

Id(azul)/Id(rojo) = (Cosas/4884) / (Cosas/6334) = (633/488)4 = 2,83

Es decir, la luz dispersa en azul es casi tres veces más intensa que la roja. O dicho de otro modo, el porcentaje 50% azul – 50% rojo que tenía la luz antes de caer sobre la partícula se ha convertido en 26% rojo – 74 % azul. La luz dispersa se ha azulado.

Ahora suponed que la luz es la del sol y las partículas que dispersan su luz son sencillamente las moléculas de aire que hay en la atmósfera. Al mirar al cielo, lo que veis es la luz dispersa, que como hemos visto tienen mayor componente azul que roja.

Acabáis de comprender por qué el cielo es azul.

Ah, y puesto que la luz dispersa tiene mayor componente de azul, la luz que no se ha disperso y sigue su camino tendrá mayor componente de rojo.

Por eso los atardeceres son rojizos.

¿Y por qué la luz violeta, de menor longitud que el azul, no se dispersa más todavía? Es decir, ¿por qué el cielo no es violeta? Resulta que la luz incidente del sol tiene una cantidad similar de luz azul y roja, pero contiene muy poco violeta; así que, aunque la dispersión es mayor en el violeta, contamos con luz incicente muy poco violeta para empezar. Además, parece que nuestros ojos son menos sensibles al violeta que al azul. Lástima, porque un cielo violeta sería una pasada.

¿A que mola la Física?

Sería genial acabar aquí esta entrada, pero no quiero dejarla incompleta. Vamos a terminarla indicando cuál sería la matriz de Müller para un conjunto de N partículas esféricas de radio r. Lo habitual, como dije antes, es tomar la teoría completa para esferas de radio arbitrario y hacer ese radio muy pequeño, lo que nos da pie a hacer aproximaciones. Como no hemos visto esa teoría, mejor paso a dar la fórmula y punto.

Necesitamos indicar la dirección del haz de luz saliente. Para ello usaremos coordenadas esféricas

Vamos a suponer que el haz de luz incidente viene de la parte negativa del eje y. La dirección de la luz dispersa, incidada por la flechita negra, estará caracterizado por los ángulos (θ,φ). Bien, pues resulta que la matriz de Müller viene dada por la siguiente expresión:

Podéis jugar con los vectores de Stokes y comprobaréis por ejemplo que un haz de luz natural (no polarizado), al dispersarse, se convierte en parcialmente polarizado.

A partir de aquí se puede ir modificando el conjunto de hipótesis de partida. Por ejemplo, la dispersión de Rayleigh para partículas no esféricas tiene una matriz de Müller levemente distinta (en realidad me cuesta encontrar datos porque todo el mundo adora las esferas pequeñitas, por lo visto). Hay una extensión llamada aproximación de Rayleigh-Gans que permite su uso con partículas más grandes que las de Rayleigh, bajo la condición de que el material que las forme sea casi transparente: |m-1|<<1.

Y aquí lo dejamos. En el próximo episodio veremos qué pasa con partículas muy gordas, y os enseñaré cómo se hace un arcoíris.

Resumen para dummies. Cuando las partículas responsables de la dispersión de luz son mucho más pequeñas que la longitud de onda incidente, la llamada aproximación de Rayleigh permite un análisis sencillo del caso. La luz dispersa tiene una componente de ondas cortas (luz azul) más fuerte que la de ondas largas (luz roja), motivo por el cual el cielo es azul.

[Etiquetas: scattering 101]

Archivado en: Scattering 101 Etiquetado como: Análisis dimensional, Cielo azul, Rayleigh, Scattering

Punto muerto

21 marzo, 2018 por Arturo Quirantes 2 comentarios

Lo he probado todo salvo esto. Habrá que llamar al profesor Xavier

Es oficial: no sé cómo seguir adelante.

Con eso no me refiero a que no tenga ya nada que hacer en investigación. No, para nada. Tenemos muchos cálculos hechos y no vacilaremos en utilizarlos. El problema es que una aplicación que estoy desarrollando por mi cuenta me ha llevado a un callejón sin salida.

Explicarlo con detalle es prematuro, ya que mi “Scattering 101”, ese pequeño cursillo que os estoy dando para explicar lo que hago, está todavía a la mitad. Aun así, voy a intentarlo sin meterme en detalles.

Yo me dedico a hacer simulaciones por ordenador. Tomo partículas de cierta forma y tamaño y calculo qué le hará a la luz; de ese modo podemos intentar averiguar qué tipo de partículas hay realmente en la atmósfera.

El problema es complicado. Durante mucho tiempo se supuso que las partículas que nos interesan son esféricas, no porque creamos que lo sean (¡que no lo son!) sino porque los métodos de cálculo solamente permitían ese tipo de geometría. Sí, el chiste de la vaca esférica en el vacío es más serio de lo que pensáis. Poco a poco se fueron desarrollando métodos para partículas no esféricas, y van bastante bien en teoría.

El problema es que los programas informáticos no son perfectos. Siempre hay errores de redondeo. A lo mejor calculas, y el resultado sale 1.99999999 en lugar de 2. ¿Es relevante? Pues a veces sí, a veces no. Buena parte de mis habilidades programadoras consisten precisamente en hacer que los errores de cálculo influyan lo menos posible en el proceso. Tengo que reducir esos errores en lo posible, y además he de saber cuándo parar, ya que aumentar la precisión a lo loco puede conducirte a problemas de memoria o de tiempo de computación.

No siempre es posible, de modo que para partículas de un tamaño lo bastante grande, y lo bastante no-esféricas, los métodos de cálculo dan errores críticos y la cosa se va a TPC. Puedes aliviarlo aumentando la precisión de las variables, pero eso solamente retrasa el problema. Peor aún, a menudo tienes que calcular sumatorias con un número infinito de términos, matrices de dimensión infinita, hacer integrales mediante métodos numéricos más o menos precisos… todo eso significa que, en la práctica, tu maravilloso método computacional basado en una serie de ecuaciones que sobre el papel vas como la seda acabará fallando tarde o temprano.

En la actualidad, el método que uso (el llamado método de la matriz T, ya os lo explicaré otro día) es de lo mejorcito que tenemos. No es suficiente, así que las partículas más grandes y apepinadas (vamos, más alejadas de la esfericidad) quedan fuera de alcance. Para ir más allá, se disponen de diversas aproximaciones que funcionan más o menos bien.

Hace diez años me propuse romper la pana en ese campo. Para ello escogí un método que, en teoría, debería ser capaz de ofrecer resultados para partículas mayores de lo que se podía hasta entonces, y de forma exacta, nada de aproximaciones. Durante estos diez años he estado avanzando a trompicones. Es el típico proyecto ambicioso que, si le dejas, acaba devorándote, y yo no le he dejado, así que he ido dedicando tiempo a intervalos irregulares. No iba a dejar que se resintiese mi docencia o mi investigación habitual.

Quizá me pregunté entonces por qué nadie más lo había intentado, o más bien por qué nadie lo había aplicado a partículas grandes, y mi arrogancia respondió que tú puedes, chavalote. Me he encontrado con muchos problemas para calcular ciertas funciones, y bien que mal he ido sorteándolos, hasta el último.

Resulta que hay una función que se me resiste. Para quien sienta curiosidad, se llama función radial esferoidal prolada de segunda clase, pero los amigos y los enemigos la llamamos simplemente R2. Se trata de una de esas ecuaciones de la que sólo sabermos que cumple una cierta ecuación diferencial. El procedimiento habitual es calcular R2 como una suma infinita de funciones, y como no podemos hacer sumas infinitas nos limitamos a hacer una suma de funciones finita y suponer que el resto de funciones que no sumamos contribuyen muy poco. Es decir, si sumando cien términos ya tenemos el 99.99999% de la solución, nos vale y paramos.

Pues resulta que en el caso de R2 cada sumando de la suma es un producto de dos funciones, una muy pequeña o otra muy grande; tan pequeña es una y tan grande es la otra que los errores de cálculo, por pequeños que sean, acaban pesando tanto que dan al traste con el proceso de cálculo.

Es decir, el procedimiento habitual de cálculo no sirve. Bueno, sí suele servir en otras circusntancias, pero en los casos que a mí me interesan el cálculo se estropea: los términos de la suma, que en teoría se van haciendo cada vez más pequeños, en la práctica tienen un valor que se parece al teórico como un huevo a una castaña.

Por eso nadie usa ese método. Qué listo eres, Arturo.

¿Solución? Tirar la toalla, o bien buscar otra forma de calcular la bendita función R2.

Ocurre aquí algo curioso, y es que las investigaciones en este campo han estado fuertemente influidas por el pasado. Prácticamente todos los investigadores del ramo te remiten al libro de Flammer de 1957, y si te pones fino, al de Meixner de 1954 (que encima está en alemán). ¿Quieres ver cómo se calcula R2? Pues a consultar el Flammer. Alguna cosilla se ha publicado desde entonces con relación a R2, pero muy poco.

No fue hasta los años noventa que algunos matemáticos y físicos se dedicaron a buscar nuevos métodos de cálculo para R2. Buscaron relaciones en las que aparecía R2 y que pudieran utilizarse como procedimientos de cálculo práctico. Irónicamente, los mejores investigadores que conozco del ramo desarrollaron métodos basados en ecuaciones que encontraron… en el libro de Flammer. Alguno, en el tope de la sofisticación, echó mano del libro de Meixner. Yo tengo ambos libros encima de mi mesa, fotocopiados, y los tengo muy manoseados, os lo aseguro.

Bien, pues eché mano de esos nuevos métodos de cálculo, bastantes más complicados que los tradicionales pero oye, funcionan, así que a hacer un esfuerzo extra. He desarrollado mis algoritmos, he redactado las subrutinas y las he comprobado con datos tabulados (que tampoco hay tantos, y eso es un problema a la hora de comprobar tus números). Las buenas noticias es que he hecho avances sustanciales, y puedo hacer cálculos con partículas más alargadas y más grandes de lo que esperaba.

Las malas noticias son que eso no basta. Aunque el progreso ha sido sustancial, apenas supera a los métodos tradicionales, y eso lo convierte en un cañón para matar moscas.

Sirva esto, amigo lector, para que te quites de la cabeza esa idea que nos transmiten las películas del científico que tiene una gran teoría infalible y que funciona a la primera. No, a menudo gastas un montón de tiempo y esfuerzo para nada. En eso la actividad científica se parece a muchas otras.

Es posible que haya gastado neuronas durante una década para nada. Quizá, sencillamente, no haya solución a mi problema. O quizá sí la haya, pero luego aparecerá otro problema. Nada me asegura que el método que estoy siguiendo, bueno en teoría, sirva en un programa de ordenador. Sólo me queda seguir exprimiendo el libro de Flammer, y el de Meixner, a ver si aparece alguna fórmula mágica que pueda usar en mi programa. Lo dudo porque eso ya lo han hecho otros antes que yo, pero quién sabe. Sería como meterse en el laboratorio del doctor Fleming, abrir un cajón y descubrir un nuevo antibiótico contra bacterias multirresistentes.

Por supuesto, también puedo seguir rastreando Google Scholar en busca de una solución mágica. También lo dudo. Los pocos que trabajaban en el tema han parado. Me da la impresión de que se han jubilado, o simplemente han sido más sagaces que yo y supieron saltar del autobús cuando vieron que el camino no llegaba a ninguna parte.

Aunque quizá, solamente quizá…

Acabo de volver a releer un artículo de 2010 que tengo encima de la mesa. Describe cómo calcular esa condenada función R2 mediante un proceso que involucra la resolución de la ecuación diferencial que la define. El algoritmo de resolución es algo que yo nunca he usado, tendría que aprenderlo, evaluar si sería posible implementarlo en mi programa, hacer las pruebas, y es muy posible que luego no sirva para las partículas grandes que tengo en consideración. Tal vez sea demasiado para mí.

Pero ahí está.

Vale, vuelvo a estar en marcha. Oficialmente sigo en punto muerto. Oficiosamente me he unido a la guerrilla. Me voy a pegar algunos tiros a ver qué pasa. Y si luego resulta que tampoco sirve esto, si estoy intentando llegar un puente demasiado lejano…

Me preocuparé de ese puente a su momento.

Y ahora me voy de vacaciones, que también los científicos disfrutamos de la vida al aire libre y tal. Feliz Semana Santa a todos.

Archivado en: Investigación Etiquetado como: computación, Investigación, problemas

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