Un disco que gira alrededor de un eje externo perpendicular al disco, sin que el eje de simetría del disco cambie de orientación (rotación plana), combina dos movimientos puros: el del centro de masas y la rotación interna del disco (respecto del CM). El momento angular del disco respecto del punto por el que pasa el eje externo siempre es la suma del momento angular del centro de masas (punto material) más el «espín». Si el disco mantuviera la misma orientación, no existiría giro interno (espín cero) y el momento angular del disco sería el del centro de masas. Si el disco gira libremente respecto de sí mismo, no existe vínculo entre las velocidades del centro de masas (Ω) y de la rotación interna (ω) y el momento angular del disco no se puede escribir como el producto IΩ. Si el disco rodara (dentro o sobre una curva) alrededor del eje externo, existe vínculo entre el giro del centro de masas y la rotación interna aunque seguiríamos sin poder escribir el momento angular del disco como IΩ. Si un diámetro del disco permaneciera solidario al giro externo, entonces la velocidad de giro interno y la del giro del centro de masas coincidirían (Ω=ω) y sí podríamos escribir el momento angular del disco como IΩ, siendo I el momento de inercia del disco respecto del eje externo (Steiner). Este último caso es una excepción pues, en general, el momento angular de un sólido rígido se puede escribir como el producto Iω cuando el eje de giro es interno o instantáneo. En este tipo de giro externo, el sólido rígido es solidario al giro.
Amplitud de un oscilador armónico 2D
La amplitud, A, de un movimiento oscilatorio en general no es la máxima distancia a la configuración de equilibrio. Esto es así en aquellos movimientos en los que se pase por el equilibrio (x=0, y=0 ó ambos). La amplitud es el desplazamiento inicial desde el equilibrio con velocidad (radial) nula. De esta forma, la energía mecánica del oscilador 2D (sistema conservativo) se puede escribir como:
E=½mω²A²+½l²/(mA²)
donde l es el momento angular asociado al giro del oscilador. Si la frecuencia natural de oscilación, ω, cumpliera l=mA²ω correspondería al caso de una trayectoria circular:
E=½mω²A²+½ω|l|=mω²A²
En el caso de una trayectoria elíptica orientada de semiejes a y b, la amplitud A=|a| o |b|pues:
- E=½mω²(a²+b²)
- l=mωab
En el caso de una trayectoria elíptica inclinada de semi-distancias máximas en x e y, c y d:
E=T+V=<T>+<V>=2<V>=mω²(<x²>+<y²>)=½mω²(c²+d²)
Como el momento angular se puede escribir en términos del área de la elipse como sigue:
l=mωS/π
llegamos a:
- S=πA√(c²+d²-A²)=πAB
- A²+B²=c²+d²
- E=½mω²(A²+B²)
El último resultado es esperable pues la energía, como magnitud física escalar, debe ser indiferente a la orientación de la elipse.
Teorema del viral y fuerzas centrales
El Teorema de virial relaciona el valor medio temporal (sobre un aaaaaaamplio intervalo de tiempo) de la energía cinética de un sistema (T) con el valor medio de un producto singular relacionado con la energía potencial, V, del que deriva/n la/s fuerza/s externas actuantes. Esto no implica que el sistema sea conservativo pues esa energía potencial puede depender del tiempo, o incluso de la velocidad. Si la energía potencial goza de simetría esférica (es decir, es radial) y con una función del tipo r^n, entonces el teorema del viral se reduce a: <T>=(n+1)<V>/2 donde n es el exponente de la dependencia radial.
En un problema de fuerzas centrales [1], el tiempo es irrelevante en un sentido amplio (energético y dinámico). Por ejemplo, la ecuación de la órbita/trayectoria permite conocer el «dónde» y «cómo» (velocidad radial), sin necesidad del «cuándo». Siempre es «posible» (mentalmente) reproducir un efecto moviola (inversión del tiempo) cambiando el signo de la constante del movimiento «momento angular», sin alterarse la trayectoria. Dado que el tiempo no aparece explícito en ninguna magnitud (energías cinética y potencial), el teorema del viral se puede escribir en promedios angulares (<♦>→<♦r²>ª) y para el caso de fuerza gravitatoria (problema de Kepler, n=-2):
<(vr)²>ª=GM<r>ª
Por otro lado, como E=cte=<T+V>=<V>/2, luego <1/r>=1/a, siendo a el semieje mayor de la órbita cónica resultante. Nótese que <1/r>ª=p, siendo p el semi-latas rectum.
Matriz de inercia en oscilaciones acopladas
En las oscilaciones acopladas lineales, la energía cinética se puede escribir como una forma cuadrática de las velocidades generalizadas con una matriz M que captura la inercia y el posible acoplamiento en inercia. Aunque conviene recordar que el tipo de acoplamiento (inercia, elástico, viscoso) dependerá de la elección de las coordenadas (elongaciones) generalizadas.
La matriz M es la que define la métrica del producto interno del espacio vectorial matricial donde se alojan los autovectores y autovalores asociados a los modos normales de oscilación. Una métrica diagonal refleja la ausencia de acoplamiento en inercia. La genuina condición de ortonormalidad en los autovectores permite determinar la constante indeterminada que cada autovector arrastra por tratarse de un problema algebraico linealmente dependiente (rango<dimensión).
Tirar con una fuerza constante o mantener la velocidad constante
Si un objeto se impulsa con una fuerza constante, la dinámica de la partícula será la combinación (superposición) entre el movimiento que tendría sin fuerza ejercida más un MRUA dictado por la fuerza constante y la velocidad inicial (instantánea debida al movimiento-base). Esto NO es una condición de ligadura reónoma porque las coordenadas generalizadas siguen libres. La fuerza externa se hará explícita en las ecuaciones de Lagrange, en forma de energía potencial por ser conservativa aunque no necesariamente porque siempre puede aparecer en el término homogéneo de las ecuaciones.
En cambio, si se impulsa el objeto con una fuerza variable, adaptada al resto de fuerzas que actúan sobre el objeto, con el objetivo de que la aceleración sea nula, el objeto describirá un MRU (equilibrio dinámico). Esto SÍ es una condición de ligadura reónoma, porque se impone una dependencia temporal concreta a la coordenada generalizada. La fuerza variable aplicada por un motor, con algún lazo de retroalimentación, se entiende como una fuerza de ligadura, sin manifestación en las ecuaciones de Lagrange.