Cuando un sistema está condicionado por una ligadura reónoma (acción de un motor que impone un giro, por ejemplo), la energía mecánica no se conservará (y posiblemente la transformada de Legendre de la Lagrangiana en las velocidades tampoco). Existe un aporte energético no nulo del agente externo que impone la ligadura. A priori, debido a la naturaleza de la ligadura, el tiempo debe aparecer explícitamente en la energía/lagrangiana (normalmente en el término cinético) y eso nos indica que no tiene un valor estacionario. Sin embargo, hay casos como el de la cuenta ensartada en un alambre circular que gira a velocidad constante, donde la energía mecánica no tiene una dependencia explícita con el tiempo y puede aparentar que adopte un valor estacionario. Sin embargo, se comprueba que es el hamiltoniano el que se mantiene constante durante todo el movimiento posible del sistema. Como en los sistemas reónomos generales, la energía no coincide numéricamente con el hamiltoniano, el razonamiento nos lleva a que si existen tres posibles constantes del movimiento, y una de ellas, la de carácter energético, ya es el hamiltoniano, la energía mecánica NO será constante. No podemos confundir la conservación de la energía mecánica con la situación de equilibrio dinámico, donde la masa se encuentra a una altura fija y gira solidaria con el alambre. En ese caso, obviamente la energía de la masa se mantiene constante porque no cambia el estado de movimiento ni la posición.
Teorema del viral y fuerzas centrales
El Teorema de virial relaciona el valor medio temporal (sobre un aaaaaaamplio intervalo de tiempo) de la energía cinética de un sistema (T) con el valor medio de un producto singular relacionado con la energía potencial, V, del que deriva/n la/s fuerza/s externas actuantes. Esto no implica que el sistema sea conservativo pues esa energía potencial puede depender del tiempo, o incluso de la velocidad. Si la energía potencial goza de simetría esférica (es decir, es radial) y con una función del tipo r^n, entonces el teorema del viral se reduce a: <T>=(n+1)<V>/2 donde n es el exponente de la dependencia radial.
En un problema de fuerzas centrales [1], el tiempo es irrelevante en un sentido amplio (energético y dinámico). Por ejemplo, la ecuación de la órbita/trayectoria permite conocer el “dónde” y “cómo” (velocidad radial), sin necesidad del “cuándo”. Siempre es “posible” (mentalmente) reproducir un efecto moviola (inversión del tiempo) cambiando el signo de la constante del movimiento “momento angular”, sin alterarse la trayectoria. Dado que el tiempo no aparece explícito en ninguna magnitud (energías cinética y potencial), el teorema del viral se puede escribir en promedios angulares (<♦>→<♦r²>ª) y para el caso de fuerza gravitatoria (problema de Kepler, n=-2):
<(vr)²>ª=GM<r>ª
Por otro lado, como E=cte=<T+V>=<V>/2, luego <1/r>=1/a, siendo a el semieje mayor de la órbita cónica resultante. Nótese que <1/r>ª=p, siendo p el semi-latas rectum.
¿Cómo trata la Mecánica Lagrangiana la fuerza de rozamiento dinámico?
La fuerza de rozamiento dinámico, aunque estrictamente se considera una ligadura NO IDEAL (limita el movimiento manifiesto), podemos manipularla como una fuerza activa, que realiza trabajo (virtual), aunque su módulo depende de una ligadura. Para aplicar las ecuaciones de Lagrange, deberá encontrarse una función de Rayleigh asociada a la fuerza de rozamiento dinámico o bien tenerla en cuenta en el cálculo de las fuerzas generalizadas de origen no potencial [1, 2].
Trabajo (virtual) en un sólido rígido
Todo movimiento (incluso virtual) de un sólido rígido se puede tratar como una traslación pura del C.M. y una rotación interna. Esto quiere decir que las fuerzas “activas” siempre se pueden localizar en el C.M. a efectos de traslación, y sólo se tendrán en cuenta sus momentos respecto del C.M., y por tanto su verdadero punto de aplicación, si ocurriera rotación interna.
El papel del tiempo en Mecánica Analítica
En los desplazamientos virtuales, el tiempo se supone fijo, que no significa que dicho desplazamiento no dependa del tiempo. En un sistema estacionario (que ocupa un espacio homogéneo en el tiempo), el desplazamiento virtual pasa a ser un desplazamiento real, infinitesimal e igualmente compatible con las ligaduras. En Cálculo variacional, la variación de cualquier magnitud, incluso la velocidad, considera el tiempo fijo. Sin embargo, la variación de una magnitud en un tiempo es distinta si se evalúa en otro tiempo. En este mismo razonamiento, las funciones generatrices de las transformaciones canónicas, poseen unos diferenciales exactos muy concretos considerando el tiempo fijo.