Física Comprimida

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¿Tiro parabólico o tiro elíptico?

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En el movimiento de un cuerpo puntual sometido a la fuerza peso (aproximación de la fuerza gravitatoria de la Tierra en las cercanías a su superficie) resulta una parábola (siempre que la velocidad inicial no lleve la dirección de la aceleración). Sin embargo, según la teoría de fuerzas centrales, una cónica parabólica es la trayectoria de escape de la atracción gravitatoria. La aparente contradicción está en el tratamiento de la fuerza peso como una fuerza constante, por tanto no central. Además, una elipse se puede aproximar a una parábola en las cercanías de su ápside (apogeo). La trayectoria exacta del tiro oblícuo desde la superficie terrestre es el arco de una elipse.

Newton's diagram of projectile motion from p. 6 of the Second Edition of On the System of the World (Ref. 1). This work is in the public domain. This is the engraved representation of the original sketch and differs in several ways from the original sketch (Ref. 2). In particular, the trajectory from the mountain to its antipodal point (G) is not drawn in the original sketch. 

Caída libre alrededor de un cilindro

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La caída libre se caracteriza por una trayectoria rectilínea (en la dirección de la fuerza gravitatoria) y una aceleración tangencial constante (y normal nula). En un espacio cartesiano, la recta es la curva de mínima longitud entre dos puntos cualesquiera. Si el móvil estuviera confinado en la superficie de un cilindro vertical, la curva que une dos puntos cualesquiera del cilindro y con mínima longitud es la hélice. La caída libre a través de la hélice se caracteriza por una aceleración angular constante y con ella, la proyección del móvil sobre el plano horizontal describe un movimiento circular de aceleración tangencial constante. La circunferencia degenera en una recta cuando el cilindro se abre. Encaja.

¿Aproximaciones de funciones? DESPUES de integrar

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La integración requiere toda la información de la función. Compruébelo con el seno de un ángulo. El promedio del seno es cero, pero el promedio del ángulo es 1. El confusión radica en que la aproximación seno-ángulo es válida para ángulos pequeños. Si la integral del seno fuera entre 0 y un ángulo pequeño, el resultado exacto y luego aproximado y el que resulta de aproximar y luego integrar, coinciden ángulo²/2.

Semi-eje menor de una trayectoria hiperbólica

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El semieje mayor en una cónica hiperbólica es la mitad de la distancia entre vértices (como lo es en la cónica elíptica) pero, ¿y el semie-eje menor? En una elipse orientada, el semieje menor es la distancia más corta del centro de la elipse a la elipse (perpendicular al eje foco-vértice). Sin embargo, en una hipérbola, el semieje menor es la distancia menor de las asíntotas al foco exterior de la hipérbola. No corresponde a un punto sobre la hipérbola. En los experimentos de dispersión, a esa distancia se le denomina parámetro de impacto y se denota con la letra b.

Por otro lado, el valor de b crítico para el que la dispersión sea de 90º (hipérbola de ramas perpendiculares) corresponde con el semieje-mayor.

En general, el valor promedio de r(θ) coincide con b para cualquier cónica.

Semi-latus rectum

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El coeficiente, con dimensiones de longitud, que aparece en la ecuación de una cónica en polares (con centro en el foco), semi-latus rectum, tiene tres interpretaciones geométricas:

  • punto de la cónica correspondiente a θ=±π/2
  • valor del radio de curvatura en el vértice (ápside) de la cónica
  • inversa del valor medio de 1/r(θ)

Y la interpretación física es:

  • punto donde el potencial efectivo es extremo (mínimo) y por tanto la energía cinética radial extrema también (máxima)
  • radio de la órbita circular equivalente (e=0) a una elíptica de igual energía (E<0)
  • el doble de la distancia para la que el potencial efectivo es nulo y toda la energía es cinética radial

La forma de una cónica viene dada por la excentricidad (que a su vez viene impuesta por el signo de la energía mecánica). El semi-latus rectum (dado por el momento angular) informa del tamaño de una cónica de excentricidad dada. El semi-eje mayor NO informa del tamaño de la cónica porque la distancia de un ápside al centro de la cónica puede ser infinito (parábola). Este semi-eje ilustra la mitad de la distancia entre ápsides.