Física Comprimida

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Bases vectoriales curvilíneas

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En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):

  • vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
  • vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)

Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.

 

Derivada temporal de una distancia al cuadrado chocante

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El cuadrado de un vector de posición relativa representa el cuadrado de la distancia entre el punto de interés y el punto de referencia. Si le aplicamos a esa cantidad la derivada temporal medida desde un sistema fijo (inercial), obtenemos el doble del producto de la distancia por la derivada de la distancia. Alternativamente podríamos escribirlo como el doble del producto escalar entre el vector de posición relativa y su derivada temporal. Pero, si el punto de referencia (matemático) cambia de posición aunque en cada instante está en reposo (como un desplazamiento virtual), la derivada temporal del vector de posición medida desde el punto de referencia coincide con la derivada medida desde el sistema fijo pero no ocurre lo mismo con la derivada de la distancia (módulo del vector de posición relativa) pues ésta es instantáneamente nula para el punto de referencia pero no es cero para el sistema fijo puesto que el punto de referencia ha cambiado de posición aunque lo hubiera hecho sin velocidad.

Esto ocurre con el Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en sólidos rígidos. Cuando este punto matemático singular coincide con uno material del sólido rígido u otro punto externo pero fijo, se puede asegurar que la distancia entre el CIR y cualquier punto del sólido rígido se mantiene constante, visto desde el CIR como desde un sistema fijo. Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM. Esto último permite escribir la Ecuación Fundamental de la Rotación en forma reducida.

Multiplicar un tensor por un vector da otro vector diferente

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Aplicar el tensor identidad multiplicado por un escalar a un vector físico cualquiera (a través del producto interno o contracción) representa una dilatación/contracción del vector (cambio de módulo).

Aplicar un tensor diagonal cualquiera a un vector físico cualquiera representa una “distorsión” del vector físico (cambio de módulo y dirección/sentido). Todo tensor simétrico se puede diagonalizar y por tanto tiene el mismo efecto que el anterior. Como todo tensor simétrico se puede escribir como la suma de los productos diádicos de dos vectores: (ab+ba), el vector resultante es la descomposición del vector inicial c en las direcciones de a y b pero utilizando como pesos c.b y c.a, respectivamente.

Aplicar un tensor simétrico a un vector físico representa un “giro” en el que también cambia el módulo. Como todo tensor antisimétrico se puede escribir como la resta de los productos diádicos de dos vectores: (ab-ba), el vector resultante es (axb)xc, perpendicular a c como resultado de su giro respecto del eje axb.

Cuando los vectores a y b son paralelos, los respectivos productos diádicos son iguales:ab=ba. Y si son perpendiculares, la traza (suma de la diagonal) de ab es nula.

Sistemas lineales y sistemas complejos

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Cuando aplicamos Superposición en un problema físico, estamos suponiendo un sistema lineal donde la combinación de los efectos individuales produce el efecto de la colectividad. Esto esconde alguna propiedad/magnitud aditiva, una ecuación diferencial lineal… Sin embargo en los sistemas complejos (no lineales) no tiene validez la superposición. Los efectos cooperativos producen casuísticas impredecibles a partir de los efectos individuales. La interacción a pares entre cuerpos es una idealización para sistemas “diluidos”. Cuando el sistema se concentra, las interacciones son de muchos cuerpos con muchos cuerpos. La sincronización espontánea en sistemas complejos acoplados (luz de luciérnagas, vuelo de estorninos, acoplamiento rotación orbital-giro interno de satélites naturales) es otro ejemplo de efecto cooperativo.

Funciones de onda de cuadrado integrable

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Una consecuencia directa de la energía finita asociada a cualquier onda mecánica, es que la integral del cuadrado del módulo de la función de onda compleja que la representa debe ser finita sobre todo el dominio temporal (y espacial). Hay tres funciones matemáticas (con sus cuadrados) que tienen una integral finita en todo el dominio infinito (tiempo o espacio): lorentziana, gaussiana y sinc. Estas funciones son ideales para representar pulsos de ondas (viajeras). Sin embargo, cualquier paquete de onda, descrito por una función de onda por partes de manera que es distinta de cero en un cierto intervalo finito de tiempo o espacio, cumplirá con la condición de cuadrado integrable.

Las ondas armónicas estrictas, de extensión/duración infinita, no son de cuadrado integrable. Sin embargo, un pulso instantáneo (descrito por una función de onda Delta de Dirac factorizada por una amplitud) de ancho nulo, sí es de cuadrado integrable. Lo primero nos lleva a pensar que no tienen sentido físico las ondas armónicas estrictas y sí los paquetes de ondas armónicos.