Física Comprimida

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Relación física a tres

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El principio 0 de la Termodinámica establece que si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercer cuerpo, entonces están en equilibrio térmico entre sí, lo que significa que los tres cuerpos tendrán la misma temperatura. La misma lógica se puede aplicar al equilibrio de presiones y químico.

Si el evento A ocurre antes que el evento B, y el evento B ocurre antes que el evento C, entonces A ocurre antes que C.

Si dos vectores físicos son perpendiculares con un tercero, no tienen por qué ser perpendiculares entre sí.

La primera y segunda son relaciones lógicas transitivas (equilibrios termodinámicos y causalidad). Cualquier relación basada en la comparación de una propiedad física escalar es transitiva.

Si un conjunto de vectores (no nulos) es ortogonal, entonces está garantizado que es linealmente independiente. Es imposible construir un vector del conjunto como una combinación de los otros si todos son perpendiculares entre sí. Aunque un conjunto de vectores no necesita ser ortogonal para ser linealmente independiente. 

Rigor matemático vs. rigor mortis

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En Física necesitamos la matemática pero en ocasiones los resultados matemáticos no producen resultados físicos, es decir, no respetan las leyes, los modelos de la Física o el espacio físico.

El primer ejemplo son las raíces de un polinomio. Las raíces de un polinomio de grado 2, cuya variable es un tiempo o una distancia, pueden ser reales positivas o negativas o incluso imaginarias conjugadas. Las raíces de polinomio de grado 3 o superior de una magnitud física no oscilatoria pueden ser reales y/o imaginarias conjugadas.

El segundo ejemplo es la interpretación variacional condicionada del Principio de Hamilton para sistemas no holónomos (no integrables)[1,2]. El Teorema Fundamental del Cálculo Variaciones es puramente matemático. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas holónomos sí cumplen ambas perspectivas.

El tercer ejemplo es la Mecánica Jerky. La Mecánica tiene por objetivo predecir la trayectoria de los cuerpos, cuya curvatura local depende a lo sumo de la segunda derivada temporal de las posiciones. La segunda derivada temporal es todo lo que se necesita para diferenciar estados naturales de movimiento. De ahí que sean inconsistentes modelados matemáticos de sistemas físicos clásicos basados en derivadas de la aceleración. Otra cuestión es lo que ocurre con la radiación electromagnética de cargas eléctricas oscilantes, donde existe una fuerza de reacción por radiación o amortiguamiento radiante.

El cuarto ejemplo es la Electrodinámica de Weber (y Phipps)[3] basada en un único potencial escalar, central y dependiente de la celeridad relativa. Este enfoque de la Electrodinámica no describe las ondas electromagnéticas y es incompatible con la Relatividad Especial.

Y el quinto ejemplo es el teorema de Bertrand, para encontrar los potenciales centrales capaces de producir órbitas estables y cerradas. La condición necesaria es matemática pero la suficiente es física: requisito de superintegrabilidad. En la mayoría de potenciales centrales, el sistema tiene «demasiados grados de libertad» o «poca simetría» para mantener la órbita encerrada en una trayectoria simple. La partícula «siente» las variaciones del potencial y estas pequeñas perturbaciones se acumulan en cada revolución, haciendo que la órbita se abra. Sólo los potenciales tipo-culombiano y tipo-Hooke son capaces de ello por sus simetrías ocultas.

Bases vectoriales curvilíneas

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En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):

  • vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
  • vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)

Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.

 

Derivada temporal de una distancia al cuadrado chocante

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El cuadrado de un vector de posición relativa representa el cuadrado de la distancia entre el punto de interés y el punto de referencia. Si le aplicamos a esa cantidad la derivada temporal medida desde un sistema fijo (inercial), obtenemos el doble del producto de la distancia por la derivada de la distancia. Alternativamente podríamos escribirlo como el doble del producto escalar entre el vector de posición relativa y su derivada temporal. Pero, si el punto de referencia (matemático) cambia de posición aunque en cada instante está en reposo (como un desplazamiento virtual), la derivada temporal del vector de posición medida desde el punto de referencia coincide con la derivada medida desde el sistema fijo pero no ocurre lo mismo con la derivada de la distancia (módulo del vector de posición relativa) pues ésta es instantáneamente nula para el punto de referencia pero no es cero para el sistema fijo puesto que el punto de referencia ha cambiado de posición aunque lo hubiera hecho sin velocidad.

Esto ocurre con el Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en sólidos rígidos. Cuando este punto matemático singular coincide con uno material del sólido rígido u otro punto externo pero fijo, se puede asegurar que la distancia entre el CIR y cualquier punto del sólido rígido se mantiene constante, visto desde el CIR como desde un sistema fijo. Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM. Esto último permite escribir la Ecuación Fundamental de la Rotación en forma reducida.

Multiplicar un tensor por un vector da otro vector diferente

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Aplicar el tensor identidad multiplicado por un escalar a un vector físico cualquiera (a través del producto interno o contracción) representa una dilatación/contracción del vector (cambio de módulo).

Aplicar un tensor diagonal cualquiera a un vector físico cualquiera representa una «distorsión» del vector físico (cambio de módulo y dirección/sentido). Todo tensor simétrico se puede diagonalizar y por tanto tiene el mismo efecto que el anterior. Como todo tensor simétrico se puede escribir como la suma de los productos diádicos de dos vectores: (ab+ba), el vector resultante es la descomposición del vector inicial c en las direcciones de a y b pero utilizando como pesos c.b y c.a, respectivamente.

Aplicar un tensor simétrico a un vector físico representa un «giro» en el que también cambia el módulo. Como todo tensor antisimétrico se puede escribir como la resta de los productos diádicos de dos vectores: (ab-ba), el vector resultante es (axb)xc, perpendicular a c como resultado de su giro respecto del eje axb.

Cuando los vectores a y b son paralelos, los respectivos productos diádicos son iguales:ab=ba. Y si son perpendiculares, la traza (suma de la diagonal) de ab es nula.