La integración requiere toda la información de la función. Compruébelo con el seno de un ángulo. El promedio del seno es cero, pero el promedio del ángulo es 1. El confusión radica en que la aproximación seno-ángulo es válida para ángulos pequeños. Si la integral del seno fuera entre 0 y un ángulo pequeño, el resultado exacto y luego aproximado y el que resulta de aproximar y luego integrar, coinciden ángulo²/2.
Semi-eje menor de una trayectoria hiperbólica
El semieje mayor en una cónica hiperbólica es la mitad de la distancia entre vértices (como lo es en la cónica elíptica) pero, ¿y el semie-eje menor? En una elipse orientada, el semieje menor es la distancia más corta del centro de la elipse a la elipse (perpendicular al eje foco-vértice). Sin embargo, en una hipérbola, el semieje menor es la distancia menor de las asíntotas al foco exterior de la hipérbola. No corresponde a un punto sobre la hipérbola. En los experimentos de dispersión, a esa distancia se le denomina parámetro de impacto y se denota con la letra b.
Por otro lado, el valor de b crítico para el que la dispersión sea de 90º (hipérbola de ramas perpendiculares) corresponde con el semieje-mayor.
En general, el valor promedio de r(θ) coincide con b para cualquier cónica.
Semi-latus rectum
El coeficiente, con dimensiones de longitud, que aparece en la ecuación de una cónica en polares (con centro en el foco), semi-latus rectum, tiene tres interpretaciones geométricas:
- punto de la cónica correspondiente a θ=±π/2
- valor del radio de curvatura en el vértice (ápside) de la cónica
- inversa del valor medio de 1/r(θ)
Y la interpretación física es:
- punto donde el potencial efectivo es extremo (mínimo) y por tanto la energía cinética radial extrema también (máxima)
- radio de la órbita circular equivalente (e=0) a una elíptica de igual energía (E<0)
- el doble de la distancia para la que el potencial efectivo es nulo y toda la energía es cinética radial
Fuerza que deriva de un potencial y que no es conservativa
Una fuerza conservativa es aquélla que produce una circulación nula a lo largo de cualquier camino cerrado bien definido (estacionario y simplemente conectado). Esto, según el teorema de Stokes (válido para campos vectoriales continuamente diferenciables), implica un flujo del rotacional nulo. Si la fuerza dependiera del tiempo, no sería conservativa pues el integrando variaría con el tiempo y por tanto la circulación también. Por otro lado, si una fuerza deriva de un potencial, es irrotacional y según el teorema de Stokes, su circulación a lo largo de cualquier camino cerrado FIJO debería ser nula. Pero esto no siempre es así. Si la fuerza (campo) tuviera alguna singularidad dentro del dominio de integración (contorno no conectado simplemente), el rotacional seguiría siendo nulo pero la circulación no [1].
No funciona la parte por el todo. Puede existir un potencial no estacionario asociado a una fuerza (no estacionaria) y la energía claramente no se conservará incluso sin existir fuerzas disipativas.
¿Dirección normal o perpendicular?
En Geometría diferencial, la dirección normal es aquella perpendicular a la curva/superficie y dirigida hacia el centro de curvatura. Así, sobre un anillo se pueden trazar infinitas perpendiculares que pasan por un mismo punto, pero sólo una de ellas se dirige al centro de curvatura. Esa es la dirección normal. Lo mismo ocurre en las superficies (curvas). No es por ser puntilloso.