La masa de un cuerpo, como característica intrínseca de la materia que revela su resistencia al cambio de estado de movimiento, parece clara. Pero, ¿la masa inercial (2ª ley de Newton) es igual que la masa gravitatoria que aparece en la Ley de Gravitación Universal? Del mismo modo que la masa “propia” o en reposo no coincide con la masa relativista, podrían existir diferencias entre masa inercial y gravitatoria. La medida de masas se hace extensamente por pesada. Pero también se puede hacer a partir de la resonancia del cuerpo a pesar conectado a un muelle conocido. En ese caso, la masa es inequívocamente la inercial. Esta es la base de las microbalanzas de cuarzo. No obstante existe un única unidad de masa, aunque recientemente se ha redefinido como kilogramo “eléctrico” al basarse en una balanza electromecánica que mide la corriente necesaria para soportar un peso. Si la gravedad no es una fuerza sino una deformación del espacio-tiempo, no parece adecuada como método para medir una propiedad intrínseca de un cuerpo.
Oscilador armónico amortiguado forzado sin respuesta transitoria
Las constantes de integración vinculadas a la solución particular de un oscilador armónico amortiguado forzado dependen exclusivamente del sistema, y no de las condiciones iniciales. Son las constantes de integración de la solución homogénea las que sí dependen de las condiciones iniciales, además de parámetros del sistema. Si las condiciones iniciales (posición y velocidad en t=0) son elegidas adecuadamente, es posible cancelar la solución homogénea (respuesta transitoria) en favor de la solución particular (respuesta estacionaria). Esto acortaría los indeseables transitorios de un sistema oscilatorio forzado.
Amplitud de un oscilador armónico 2D
La amplitud, A, de un movimiento oscilatorio en general no es la máxima distancia a la configuración de equilibrio. Esto es así en aquellos movimientos en los que se pase por el equilibrio (x=0, y=0 ó ambos). La amplitud es el desplazamiento inicial desde el equilibrio con velocidad (radial) nula. De esta forma, la energía mecánica del oscilador 2D (sistema conservativo) se puede escribir como:
E=½mω²A²+½l²/(mA²)
donde l es el momento angular asociado al giro del oscilador. Si la frecuencia natural de oscilación, ω, cumpliera l=mA²ω correspondería al caso de una trayectoria circular:
E=½mω²A²+½ω|l|=mω²A²
En el caso de una trayectoria elíptica orientada de semiejes a y b, la amplitud A=|a| o |b|pues:
- E=½mω²(a²+b²)
- l=mωab
En el caso de una trayectoria elíptica inclinada de semi-distancias máximas en x e y, c y d:
E=T+V=<T>+<V>=2<V>=mω²(<x²>+<y²>)=½mω²(c²+d²)
Como el momento angular se puede escribir en términos del área de la elipse como sigue:
l=mωS/π
llegamos a:
- S=πA√(c²+d²-A²)=πAB
- A²+B²=c²+d²
- E=½mω²(A²+B²)
El último resultado es esperable pues la energía, como magnitud física escalar, debe ser indiferente a la orientación de la elipse.
Matriz de inercia en oscilaciones acopladas
En las oscilaciones acopladas lineales, la energía cinética se puede escribir como una forma cuadrática de las velocidades generalizadas con una matriz M que captura la inercia y el posible acoplamiento en inercia. Aunque conviene recordar que el tipo de acoplamiento (inercia, elástico, viscoso) dependerá de la elección de las coordenadas (elongaciones) generalizadas.
La matriz M es la que define la métrica del producto interno del espacio vectorial matricial donde se alojan los autovectores y autovalores asociados a los modos normales de oscilación. Una métrica diagonal refleja la ausencia de acoplamiento en inercia. La genuina condición de ortonormalidad en los autovectores permite determinar la constante indeterminada que cada autovector arrastra por tratarse de un problema algebraico linealmente dependiente (rango<dimensión).
La incertidumbre del periodo de un movimiento oscilatorio
La medida directa de un período es un tiempo t de N ciclos, acompañado de la sensibilidad del cronómetro (en realidad la del tiempo de reacción del usuario). Si la dispersión de varias medidas de ese tiempo fuera menor que la sensibilidad, el error de la media sería la sensibilidad. El período se calcula algebraicamente como t/N. Por propagación de errores, el error del período disminuye con el número de ciclos. Esto significa que con infinitos ciclos, conocerías el valor exacto del período. Esto tiene su lectura en el espacio de la transformada de Fourier. El espectro de Fourier de una señal senoidal (pura) infinita (N→∞) es una delta de Dirac centrada en la frecuencia (periodo) exacta. Sin embargo, el espectro de Fourier de una señal senoidal finita, es un pico con un ancho finito (incertidumbre del periodo).
