Física Comprimida

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Rozamiento estático e inercia, ¿se confunden en la práctica?

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El rozamiento estático es la resistencia al movimiento relativo incipiente entre cuerpos. La inercia es la resistencia a cambiar de estado de movimiento de un cuerpo. Para que se manifiesten debe existir tentativa al movimiento relativo o cambio de movimiento, respectivamente. Si un cuerpo apoyado se resistiera a moverse por acción de una fuerza deliberada, ¿cómo sabremos si es por su inercia (masa) o por el rozamiento estático con el apoyo? Para mover cualquier cuerpo desde el reposo se requiere de un impulso finito (fuerza neta positiva integrada en el tiempo) que dependerá de la masa a priori (cantidad de movimiento inicial). El rozamiento estático máximo depende de la reacción de apoyo, que de alguna manera puede depender del peso del cuerpo (masa gravitatoria) aunque no siempre. Como vemos, es difícil desacoplar inercia de rozamiento estático en cuerpos que tienden al movimiento incipiente. Es más sencillo con cuerpos en movimiento manifiesto. Supongamos un cuerpo trazando una curva. La propia inercia del cuerpo justifica la tentativa a salirse por la tangente y con ella, la aparición del rozamiento estático en dirección normal a la curva. Como vemos, la inercia origina el rozamiento estático pero la velocidad máxima de trazado de curva NO depende de la masa del cuerpo y sí del coeficiente de rozamiento estático.

Tres esferas de igual área y forma, pero diferente masa, se cuelgan respectivamente de tres cuerdas idénticas en aire en calma (viscosidad pequeña, flujo laminar). Se desplazan la misma amplitud A (por debajo de 20º), se sueltan y se observa que la esfera más liviana se detiene antes y la más pesada, la última. ¿Cuál es el motivo? El diferente coeficiente es β=b/(2*inercia) donde b es un parámetro que depende de la viscosidad del medio y de la geometría del cuerpo. Si se desplazara cada esfera distinta amplitud, de manera que el producto inercia*A² (energía) fuera constante, ¿se lograría teóricamente igualar los tiempos de frenado? No. Siempre llegará teóricamente antes al reposo la esfera más ligera y más tarde la esfera más pesada.

Masa, ¿no hay más que una?

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La masa de un cuerpo, como característica intrínseca de la materia que revela su resistencia al cambio de estado de movimiento, parece clara. Pero, ¿la masa inercial (2ª ley de Newton) es igual que la masa gravitatoria que aparece en la Ley de Gravitación Universal? Del mismo modo que la masa “propia” o en reposo no coincide con la masa relativista, podrían existir diferencias entre masa inercial y gravitatoria. La medida de masas se hace extensamente por pesada. Pero también se puede hacer a partir de la resonancia del cuerpo a pesar conectado a un muelle conocido. En ese caso, la masa es inequívocamente la inercial. Esta es la base de las microbalanzas de cuarzo. No obstante existe un única unidad de masa, aunque recientemente se ha redefinido como kilogramo “eléctrico” al basarse en una balanza electromecánica que mide la corriente necesaria para soportar un peso. Si la gravedad no es una fuerza sino una deformación del espacio-tiempo, no parece adecuada como método para medir una propiedad intrínseca de un cuerpo.

Oscilador armónico amortiguado forzado sin respuesta transitoria

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Las constantes de integración vinculadas a la solución particular de un oscilador armónico amortiguado forzado dependen exclusivamente del sistema, y no de las condiciones iniciales. Son las constantes de integración de la solución homogénea las que sí dependen de las condiciones iniciales, además de parámetros del sistema. Si las condiciones iniciales (posición y velocidad en t=0) son elegidas adecuadamente, es posible cancelar la solución homogénea (respuesta transitoria) en favor de la solución particular (respuesta estacionaria). Esto acortaría los indeseables transitorios de un sistema oscilatorio forzado.

Amplitud de un oscilador armónico 2D

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La amplitud, A, de un movimiento oscilatorio en general no es la máxima distancia a la configuración de equilibrio. Esto es así en aquellos movimientos en los que se pase por el equilibrio (x=0, y=0 ó ambos). La amplitud es el desplazamiento inicial desde el equilibrio con velocidad (radial) nula. De esta forma, la energía mecánica del oscilador 2D (sistema conservativo) se puede escribir como:

E=½mω²A²+½l²/(mA²)

donde l es el momento angular asociado al giro del oscilador. Si la frecuencia natural de oscilación, ω, cumpliera l=mA²ω correspondería al caso de una trayectoria circular:

E=½mω²A²+½ω|l|=mω²A²

En el caso de una trayectoria elíptica orientada de semiejes a y b, la amplitud A=|a| o |b|pues:

  • E=½mω²(a²+b²)
  • l=mωab

En el caso de una trayectoria elíptica inclinada de semi-distancias máximas en x e y, c y d:

E=T+V=<T>+<V>=2<V>=mω²(<x²>+<y²>)=½mω²(c²+d²)

Como el momento angular se puede escribir en términos del área de la elipse como sigue:

l=mωS/π

llegamos a:

  1. S=πA√(c²+d²-A²)=πAB
  2. A²+B²=c²+d²
  3. E=½mω²(A²+B²)

El último resultado es esperable pues la energía, como magnitud física escalar, debe ser indiferente a la orientación de la elipse.

Matriz de inercia en oscilaciones acopladas

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En las oscilaciones acopladas lineales, la energía cinética se puede escribir como una forma cuadrática de las velocidades generalizadas con una matriz M que captura la inercia y el posible acoplamiento en inercia. Aunque conviene recordar que el tipo de acoplamiento (inercia, elástico, viscoso) dependerá de la elección de las coordenadas (elongaciones) generalizadas.

La matriz M es la que define la métrica del producto interno del espacio vectorial matricial donde se alojan los autovectores y autovalores asociados a los modos normales de oscilación. Una métrica diagonal refleja la ausencia de acoplamiento en inercia. La genuina condición de ortonormalidad en los autovectores permite determinar la constante indeterminada que cada autovector arrastra por tratarse de un problema algebraico linealmente dependiente (rango<dimensión).