Los campos (potenciales) que dependen con la distancia como 1/r, aunque manifiestan una singularidad en el origen de coordenadas, son integrables en 1D y 2D incluso en dominios cerrados que contengan el origen de coordenadas. Si el espacio se encoge más rápido de lo que el campo crece, la singularidad es débil.
Contribución al movimiento de campos de fuerzas
Un campo de fuerzas puede contribuir al movimiento a través de su capacidad de trasladar cuerpos entre puntos privilegiados (divergencia) y cambiar la orientación de cuerpos alrededor de direcciones axiales privilegiadas (rotacional) [1]. La primera forma de contribuir es a través del desplazamiento (cambios en energía cinética) mientras que la segunda a través del estado de movimiento (cambios en momento angular). La fuerza electrostática (puntos privilegiados pero sin direcciones privilegiadas) contribuye al movimiento de cargas eléctricas por desplazamiento, cambiando su energía cinética sin cambios en su momento angular. La fuerza magnética de Lorentz (sin puntos privilegiados pero direcciones axiales privilegiadas) contribuye al movimiento de cargas eléctricas por cambios en su momento angular, no en su energía cinética. En realidad, esto último se debe a la dependencia con la velocidad en forma de producto vectorial.
Las fuerzas irrotacionales derivan de un potencial escalar que sólo depende de la posición y, si acaso, del tiempo, sólo contribuyen al movimiento por cambios en la energía cinética, es decir, a través de su trabajo mecánico (Teorema de las Fuerzas Vivas). Las fuerzas rotacionales (no necesariamente solenoidales), que derivan de un potencial generalizado, que depende además de la velocidad, también contribuyen al movimiento por cambios en el momento lineal/angular. La fuerza electromagnética es rotacional.
Campos solenoidal e irrotacional
Un campo físico vectorial general es capaz de, mentalmente:
- trasladar cuerpos entre puntos privilegiados o de producirles dilataciones/contracciones. Su medida local es la divergencia, y
- cambiar la orientación de cuerpos o producirles deformaciones cortantes (cizalla) alrededor de direcciones axiales privilegiadas. Su medida local es el rotacional.
Estas propiedades no son excluyentes. Los campos solenoidales no disfrutan de la propiedad 1 (divergencia nula) mientras que los campos irrotacionales no disfrutan de la propiedad 2 (rotacional nulo). Un campo irrotacional es potencial (i.e. expresado como un gradiente de un potencial escalar) si el espacio físico en el que está definido el campo sólo permite dominios simplemente conectados (que permiten colapsar cualquier contorno cerrado en un punto). Un campo solenoidal se escribe como un rotacional de un vector concreto pero también se puede expresar como el producto vectorial de dos campos potenciales.
Un campo uniforme a se puede expresar como el rotacional del producto rxa, salvo un prefactor -1/2, y como el gradiente de r.a. El vector de posición siempre se puede escribir como el gradiente de su módulo al cuadrado dividido por 2. El campo definido por la distribución de momentos de una fuerza potencial es solenoidal.
Cualquier campo vectorial se puede expresar como suma de un campo potencial (gradiente) y otro en forma de rotacional, pero estos campos elementales no se consideran componentes vectoriales porque su producto escalar no es cero (!), como sí ocurre con las componentes intrínsecas, paralelas y perpendiculares, de un vector sobre una curva.
Pensemos en cómo escribir el vector normal a una superficie curva. La primera forma es como gradiente de la función implícita de la superficie. En ese caso, un campo normal sencillo es potencial y por tanto irrotacional. Alternativamente, un vector normal a la superficie curva se puede escribir como el producto vectorial de los vectores normales (gradientes) de los planos definidos por las coordenadas curvilíneas naturales en el punto de interés [1]. Ahora el campo normal es solenoidal. El vector normal es único, salvo prefactores, por tanto el campo normal será irrotacional y solenoidal, como le ocurre a un campo uniforme o al campo definido sobre un plano.
El campo de velocidades de un cuerpo deformable tiene asociado un tensor-gradiente, que se puede escribir como una componente de deformación estricta (tensor simétrico) y otra de rotación pura (tensor antisimétrico). Un sólido rígido sólo tendrá la segunda componente. Como todo tensor antisimétrico tiene traza nula, la divergencia del campo de velocidades del sólido rígido será nula (campo solenoidal). Sin embargo, es posible que un cuerpo no rote y sufra una deformación combinada de traza nula (parte solenoidal del campo) y otra de traza no nula. Esta última es la parte irrotacional del campo, escrita en forma de gradiente.
Bases vectoriales curvilíneas
En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):
- vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
- vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)
Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.
Hamiltoniano estacionario, Hamiltoniano constante
El Hamiltoniano puede depender de q, p y t. En ausencia de fuerzas generalizadas no conservativas¹, si el Hamiltoniano no depende de t (estacionario), su derivada parcial temporal (igual a la absoluta temporal sólo para el Hamiltoniano) es nula por lo que resulta una constante del movimiento, aunque dependa de q y p. En campos vectoriales, podría resultar que la derivada absoluta temporal fuera cero sin ser estacionarios ni uniformes (que no dependan de la posición), pero en general, sólo los campos estacionarios y uniformes son constantes. En un sentido parecido podemos decir que la densidad de un fluido puede ser estacionaria (fluido incompresible), aun siendo el fluido inhomogéneo. Sólo en el caso de un fluido homogéneo e incompresible, su densidad será una constante numérica (lo habitual) para una temperatura dada.
¹ En realidad basta con que la fuerza generalizada no se pueda expresar como una derivada de un potencial escalar [1].