Física Comprimida

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Contribución al movimiento de campos de fuerzas

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Un campo de fuerzas puede contribuir al movimiento a través de su capacidad de trasladar cuerpos entre puntos privilegiados (divergencia) o cambiar la orientación de cuerpos alrededor de direcciones axiales privilegiadas (rotacional) [1]. La primera forma de contribuir es a través del desplazamiento (cambios en energía cinética) mientras que la segunda a través del estado de movimiento (cambios en momento angular). La fuerza electrostática (con un punto privilegiado -carga fuente- pero una dirección privilegiada) contribuye al movimiento de cargas eléctricas por desplazamiento, cambiando su energía cinética sin cambios en su momento angular. La fuerza magnética de Lorentz (sin puntos privilegiados en el espacio pero una dirección privilegiada) contribuye al movimiento de cargas eléctricas por cambios en su momento angular, no en su energía cinética.

Las fuerzas irrotacionales, que derivan de un potencial escalar, sólo contribuyen al movimiento por cambios en la energía cinética, es decir, a través de cambios en el trabajo mecánico (Teorema de las Fuerzas Vivas). Estas fuerzas dependen de la posición y, si acaso, del tiempo. Las fuerzas solenoidales, que derivan de un potencial vector, sólo contribuyen al movimiento por cambios en el momento angular. Estas fuerzas dependen de la velocidad, en segundo lugar de la posición y, si acaso, del tiempo.

Campos solenoidal e irrotacional

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Un campo físico vectorial general es capaz de:

  1. trasladar cuerpos entre puntos privilegiados o de producirles dilataciones/contracciones. Su medida local es la divergencia.
  2. cambiar la orientación de cuerpos o producirles deformaciones cortantes (cizalla) alrededor de direcciones axiales privilegiadas. Su medida local es el rotacional.

Estas propiedades no son excluyentes. Los campos solenoidales no disfrutan de la propiedad 1 (divergencia nula) mientras que los campos irrotacionales no disfrutan de la propiedad 2 (rotacional nulo). Un campo irrotacional es potencial (i.e. expresado como un gradiente de un potencial escalar) si el espacio físico en el que está definido el campo sólo permite dominios simplemente conectados (que permiten colapsar cualquier contorno cerrado en un punto). El vector de posición siempre se puede escribir como el gradiente de su módulo al cuadrado dividido por 2. Un campo solenoidal no siempre tiene que expresarse como el rotacional de un potencial vector. El campo definido por la distribución de momentos de una fuerza irrotacional es solenoidal porque es el producto vectorial de dos campos potenciales.

Cualquier campo vectorial (la fuerza de Lorentz es un ejemplo) se puede expresar como suma de un campo potencial (gradiente) y otro en forma de rotacional, pero estos campos elementales no se consideran componentes vectoriales porque su producto escalar no es cero, no son excluyentes (como ocurre con las componentes intrínsecas, paralelas y perpendiculares, de un vector sobre una curva).

Pensemos en cómo escribir el vector normal a una superficie curva. La primera forma es como gradiente de la función implícita de la superficie. En ese caso, un campo normal sencillo es potencial y por tanto irrotacional. Alternativamente, un vector normal a la superficie curva se puede escribir como el producto vectorial de los vectores normales (gradientes) de los planos definidos por las coordenadas curvilíneas naturales en el punto de interés [1]. Ahora el campo normal es solenoidal. El vector normal es único, salvo prefactores, por tanto el campo normal será irrotacional y solenoidal al mismo tiempo. La velocidad de una partícula (independiente de su posición [2]) se puede expresar como el rotacional del momento angular (por unidad de masa), salvo un prefactor -1/2, pero también se escribe como el gradiente del producto escalar entre el vector de posición y la propia velocidad.

El campo de velocidades de un cuerpo deformable tiene asociado un tensor-gradiente, que se puede escribir como una componente de deformación estricta (tensor simétrico) y otra de rotación pura (tensor antisimétrico). Un sólido rígido sólo tendrá la segunda componente. Como todo tensor antisimétrico tiene traza nula, la divergencia del campo de velocidades del sólido rígido será nula (campo solenoidal). Sin embargo, es posible que un cuerpo no rote y sufra una deformación combinada de traza nula (parte solenoidal del campo) y otra de traza no nula. Esta última es la parte irrotacional del campo, escrita en forma de gradiente.

Bases vectoriales curvilíneas

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En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):

  • vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
  • vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)

Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.

 

Hamiltoniano estacionario, Hamiltoniano constante

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El Hamiltoniano puede depender de q, p y t. En ausencia de fuerzas generalizadas no conservativas¹, si el Hamiltoniano no depende de t (estacionario), su derivada parcial temporal (igual a la absoluta temporal sólo para el Hamiltoniano) es nula por lo que resulta una constante del movimiento, aunque dependa de q y p. En campos vectoriales, podría resultar que la derivada absoluta temporal fuera cero sin ser estacionarios ni uniformes (que no dependan de la posición), pero en general, sólo los campos estacionarios y uniformes son constantes. En un sentido parecido podemos decir que la densidad de un fluido puede ser estacionaria (fluido incompresible), aun siendo el fluido inhomogéneo. Sólo en el caso de un fluido homogéneo e incompresible, su densidad será una constante numérica (lo habitual) para una temperatura dada.

¹ En realidad basta con que la fuerza generalizada no se pueda expresar como una derivada de un potencial escalar [1].

Fuerza que deriva de un potencial y que no es conservativa

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Una fuerza conservativa es aquélla que produce un trabajo nulo a lo largo de cualquier camino cerrado bien definido (simplemente conectado*). El trabajo es una integral de línea (circulación). Que la circulación a través de cualquier camino cerrado sea nula, según el teorema de Stokes (válido para campos vectoriales continuamente diferenciables), implica un flujo nulo del rotacional de la fuerza a través de cualquier superficie con contorno el de la circulación. Que una integral sea nula con independencia del dominio de integración nos lleva a que el integrando sea nulo en esa región. Luego, una fuerza conservativa es irrotacional (rotacional nulo). Por otro lado, si una fuerza deriva de un potencial, es irrotacional y según el teorema de Stokes, su circulación a lo largo de cualquier camino cerrado debería ser nula. Pero esto no siempre es así. Si la fuerza (campo) tuviera alguna singularidad dentro del dominio de integración (contorno no conectado simplemente), el rotacional seguiría siendo nulo pero la circulación no [1]. De ahí la importancia de la condición de camino simplemente conectado.

Por otro lado, si la fuerza dependiera del tiempo, el trabajo no coincidirá con la circulación que aparece en el Teorema de Stokes porque en el trabajo mecánico posición y tiempo están vinculadas a través de las ecuaciones del movimiento mientras que en el Teorema de Stokes, posición y tiempo son variables independientes. Esto nos impide concluir que dicho trabajo sea nulo. Incluso si la fuerza no estacionaria fuera irrotacional (existencia de un potencial no estacionario) y el camino de integración fuera simplemente conectado, la fuerza será no conservativa [2]. Una fuerza no conservativa no es necesariamente disipativa.

Una forma de aclarar la diferencia entre fuerza irrotacional pero variable con el tiempo y fuerza conservativa es que la primera es virtualmente conservativa pues su trabajo virtual (aquél basado en desplazamientos virtuales, a un tiempo fijo) no depende del camino virtual seguido.

*: Un espacio es simplemente conectado cuando cada contorno (camino) trazado entre dos puntos distintos puede transformarse en otro contorno pero manteniendo los dos puntos extremos.