Física Comprimida

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Bases vectoriales curvilíneas

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En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):

  • vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
  • vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)

Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.

 

Hamiltoniano estacionario, Hamiltoniano constante

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El Hamiltoniano puede depender de q, p y t. En ausencia de fuerzas generalizadas no conservativas¹, si el Hamiltoniano no depende de t (estacionario), su derivada parcial temporal (igual a la absoluta temporal sólo para el Hamiltoniano) es nula por lo que resulta una constante del movimiento, aunque dependa de q y p. En campos vectoriales, podría resultar que la derivada absoluta temporal fuera cero sin ser estacionarios ni uniformes (que no dependan de la posición), pero en general, sólo los campos estacionarios y uniformes son constantes. En un sentido parecido podemos decir que la densidad de un fluido puede ser estacionaria (fluido incompresible), aun siendo el fluido inhomogéneo. Sólo en el caso de un fluido homogéneo e incompresible, su densidad será una constante numérica (lo habitual) para una temperatura dada.

¹ En realidad basta con que la fuerza generalizada no se pueda expresar como una derivada de un potencial escalar [1].

Fuerza que deriva de un potencial y que no es conservativa

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Una fuerza conservativa es aquélla que produce un trabajo nulo a lo largo de cualquier camino cerrado bien definido (simplemente conectado*). El trabajo es una integral de línea (circulación). Que la circulación a través de cualquier camino cerrado sea nula, según el teorema de Stokes (válido para campos vectoriales continuamente diferenciables), implica un flujo nulo del rotacional de la fuerza a través de cualquier superficie con contorno el de la circulación. Que una integral sea nula con independencia del dominio de integración nos lleva a que el integrando sea nulo en esa región. Luego, una fuerza conservativa es irrotacional (rotacional nulo). Por otro lado, si una fuerza deriva de un potencial, es irrotacional y según el teorema de Stokes, su circulación a lo largo de cualquier camino cerrado debería ser nula. Pero esto no siempre es así. Si la fuerza (campo) tuviera alguna singularidad dentro del dominio de integración (contorno no conectado simplemente), el rotacional seguiría siendo nulo pero la circulación no [1]. De ahí la importancia de la condición de camino simplemente conectado.

Por otro lado, si la fuerza dependiera del tiempo, el trabajo no coincidirá con la circulación que aparece en el Teorema de Stokes porque en el trabajo mecánico posición y tiempo están vinculadas a través de las ecuaciones del movimiento mientras que en el Teorema de Stokes, posición y tiempo son variables independientes. Esto nos impide concluir que dicho trabajo sea nulo. Incluso si la fuerza no estacionaria fuera irrotacional (existencia de un potencial no estacionario) y el camino de integración fuera simplemente conectado, la fuerza será no conservativa [2]. Una fuerza no conservativa no es necesariamente disipativa.

Una forma de aclarar la diferencia entre fuerza irrotacional pero variable con el tiempo y fuerza conservativa es que la primera es virtualmente conservativa pues su trabajo virtual (aquél basado en desplazamientos virtuales, a un tiempo fijo) no depende del camino virtual seguido.

*: Un espacio es simplemente conectado cuando cada contorno (camino) trazado entre dos puntos distintos puede transformarse en otro contorno pero manteniendo los dos puntos extremos.

¿Cómo saber si vivimos en una Tierra cóncava?

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Como la Tierra plana [1], exite una teoría de la Tierra hueca, basada en el hecho de que vivimos en la cara interna de una esfera hueca, en cuyo vacío se encuentra todo el firmamento con una métrica inversamente proporcional a la distancia cartesiana. Más allá del efecto óptico [2], que no nos permite diferenciar lo cóncavo de lo convexo, la idea de Tierra hueca es equivalente a la de espacio infinito. El hecho de que la esfera cóncava sea finita pero indefinida, sin bordes o límites [3], valida esta equivalencia. En la película El show de Truman se crea un inmenso estudio semiesférico [4] para engañar al protagonista con su vida irreal. Ante la incertidumbre, un físico puede aplicar la Ley de Gauss al campo gravitatorio que atrae a todo cuerpo “encima” de la Tierra. La Ley de Gauss nos dice que, si dentro de una cavidad esférica no existe masa creadora del campo, el campo es nulo [5]. Los aviones, aves, atmósfera terrestre.., de una Tierra cóncava quedarían ingrávidos. Además, como el campo gravitatorio “centrífugo” en la Tierra cóncava sólo actuaría en la corteza terrestre, no en la superficie, los seres deberían vivir bajo tierra pero la corteza sería hiperdensa para garantizar la gravedad necesaria. Y puestos a reflexionar, ¿qué hay fuera de la Tierra, donde actúa el campo gravitatorio terrestre? ¡Qué desperdicio de campo!

Gradiente aplicado sobre superficie equipotencial

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El operador gradiente se aplica siempre a una función escalar. En Electrostática esa función es el potencial eléctrico: campo escalar definido en el espacio y que debe ser continuo y derivable. Si se aplica ese operador vectorial al potencial eléctrico y se evalúa sobre una superficie equipotencial cualquiera (puntos del espacio donde el potencial eléctrico toma un mismo valor constante), NO se obtiene el vector CERO sino un vector resultante perpendicular en todo punto de la superficie y dirigido hacia valores crecientes de potencial eléctrico.

Por otro lado, el campo eléctrico (módulo) en los puntos de una superficie equipotencial NO tiene que ser el mismo. Piénsese en el campo eléctrico sobre la superficie de un conductor cerrado cualquiera (de forma arbitraria) en equilibrio.