La cinemática del Punto no coincide con la cinemática del Sólido Rígido. Es importante diferenciar el estado de movimiento de un punto geométrico del punto material que pase instantáneamente por el primero [1]. En sistemas de partículas ligadas, como el sólido rígido, la velocidad instantánea del punto material no siempre coincide con la del punto geométrico por el que pasa. Como ejemplo paradigmático de esta diferencia entre puntos geométricos y materiales, el Centro Instantáneo de Rotación es un punto geométrico (normalmente móvil) tal que si por él pasara un punto material solidario al sólido rígido, éste tendría instantáneamente velocidad nula.
Derivada temporal de una distancia al cuadrado chocante
El cuadrado de un vector de posición relativa representa el cuadrado de la distancia entre el punto de interés y el punto de referencia. Si le aplicamos a esa cantidad la derivada temporal medida desde un sistema fijo (inercial), obtenemos el doble del producto de la distancia por la derivada de la distancia. Alternativamente podríamos escribirlo como el doble del producto escalar entre el vector de posición relativa y su derivada temporal. Pero, si el punto de referencia (matemático) cambia de posición aunque en cada instante está en reposo (como un desplazamiento virtual), la derivada temporal del vector de posición medida desde el punto de referencia coincide con la derivada medida desde el sistema fijo pero no ocurre lo mismo con la derivada de la distancia (módulo del vector de posición relativa) pues ésta es instantáneamente nula para el punto de referencia pero no es cero para el sistema fijo puesto que el punto de referencia ha cambiado de posición aunque lo hubiera hecho sin velocidad.
Esto ocurre con el Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en sólidos rígidos. Cuando este punto matemático singular coincide con uno material del sólido rígido u otro punto externo pero fijo, se puede asegurar que la distancia entre el CIR y cualquier punto del sólido rígido se mantiene constante, visto desde el CIR como desde un sistema fijo. Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM. Esto último permite escribir la Ecuación Fundamental de la Rotación en forma reducida.
Ley de los graves repensada
En Dinámica, dos puntos materiales que poseen diferente inercia y parten del reposo desde un mismo punto, si están sometidos a las mismas fuerzas, sufrirán diferentes aceleraciones y con ello el más inerte irá siempre por detrás del otro (menos inerte). Esto confirma la ley de inercia. Pero, si la única fuerza activa es el peso (caída libre, plano inclinado pulido), la aceleración será la misma (ley de los graves) y la inercia no se manifiesta desde un punto de vista cinemático (lo cual nos hace pensar ya que la fuerza gravitatoria lo mismo no es una fuerza al uso). No ocurre así para sólidos rígidos rodantes, en los que la inercia (rotacional) se manifiesta incluso con el peso como única fuerza activa. ¿Los sólidos rígidos rodantes violan la ley de los graves de Galileo? En realidad, para que ocurra la rodadura ha de existir un contacto adhesivo, manifestado macroscópicamente como rozamiento estático por tanto no es una caída estrictamente libre.
Realicemos este experimento pensado de mayor idealización a menor:
- Un plano inclinado (un ángulo α) perfectamente pulido que no manifiesta ningún rozamiento. Colocamos sobre dicho plano dos bloques de igual tamaño pero muy diferente masa (p.e. macizo y hueco), en contacto mutuo, uno detrás del otro. Soltamos los bloques a la vez y bajan solidariamente con idéntica aceleración igual a g sinα con independencia del ángulo α. Este resultado sólo es compatible con la ausencia de fuerzas internas. La aparición de fuerzas de contacto internas sólo se justificaría si el bloque trasero quisiera bajar antes que el delantero, guiado por su menor inercia quizás, pero las leyes de Newton 2ª y 3ª aplicadas a cada bloque nos llevarían a un movimiento obligatoriamente NO solidario. Reducción al absurdo. La ley de los graves funciona.
- Ahora, el plano es rugoso y existe posibilidad de rozamiento con los bloques (hechos del mismo material). A partir de un determinado ángulo α crítico, soltamos los bloques a la vez y bajan solidariamente con idéntica aceleración pero menor que g sinα debida al rozamiento dinámico. La caída solidaria invalida de nuevo la posibilidad de fuerzas internas de contacto. La ley de los graves sigue siendo válida incluso con rozamiento.
- En esta ocasión, los bloques están hechos de un material muy diferente. Para un determinado ángulo α crítico, soltamos los bloques a la vez y el delantero baja (movimiento incipiente) mientras que el trasero se queda en reposo (constreñido por su rozamiento estático mayor, no por su inercia). Si cambiamos los bloques y repetimos lo anterior, ambos quedan en reposo (el delantero detiene la caída del trasero). Pero si aumentamos el ángulo α, de repente bajan solidariamente con idéntica aceleración pero menor que g sinα debida al rozamiento. En este caso, la caída solidaria no invalida la existencia de fuerzas internas de contacto. La existencia de tanta casuística nos lleva a que la ley de los graves no se cumple en estas condiciones.
La realidad suele coincidir con el supuesto 3 de ahí que la ley de los graves sea de primeras tan contraintuitiva.
Composición de movimientos desde la interpretación energética
Muchos problemas de cinemática en sistemas conservativos, que no dependen del tiempo, se deducen por conservación de la energía. De la misma manera, la composición de movimientos (independientes, es decir, perpendiculares) se puede inferir a partir de la forma analítica de la energía mecánica. Si es posible escribir la energía mecánica con variables separables, es decir, términos aditivos que dependen exclusivamente de cada variable y por tanto, cada uno de ellos ha de ser constante, estamos ante una problema de composición de movimientos. Aplíquelo al tiro parabólico usando las coordenadas cartesianas y sus derivadas temporales como variables.
En Física, la mayoría de los problemas no se plantean con variables separables. El reto es encontrar las variables adecuadas para ello. La hipótesis de variables separables revela simetrías o la superposición de movimientos (como en las funciones de ondas).
¿Tiro parabólico o tiro elíptico?
En el movimiento de un cuerpo puntual sometido a la fuerza peso (aproximación de la fuerza gravitatoria de la Tierra en las cercanías a su superficie) resulta una parábola (siempre que la velocidad inicial no lleve la dirección de la aceleración). Sin embargo, según la teoría de fuerzas centrales, una cónica parabólica es la trayectoria de escape de la atracción gravitatoria. La aparente contradicción está en el tratamiento de la fuerza peso como una fuerza constante, por tanto no central. Además, una elipse se puede aproximar a una parábola en las cercanías de su ápside (apogeo). La trayectoria exacta del tiro oblícuo desde la superficie terrestre es el arco de una elipse.
