Los multiplicadores de Lagrange pueden ser positivos o negativos, según cómo se escriba matemáticamente la ligadura correspondiente. Es la misma situación que el sentido del vector del elemento de superficie de una superficie dada (ligadura). Existen dos versores posibles, según cómo se escriba la ecuación explícita de la superficie. Un convenio de signos es lo que decanta el versor final. El vínculo de los multiplicadores con las fuerzas de ligadura newtonianas debe analizarse en términos absolutos.
La paradoja de iniciar un movimiento desde una situación de equilibrio inestable
Se sabe que para iniciar el movimiento desde una situación de equilibrio estable, hay que desplazar el objeto o impulsarlo convenientemente, o ambas condiciones iniciales. La solución física tendrá sentido entonces. Sin embargo, si la situación de partida es de equilibrio inestable, es posible el movimiento con condiciones iniciales nulas y la matemática así lo permite en la solución física. La controversia aparece a la hora de entender cómo esa singularidad matemática de apoyo (punto inestable) en la práctica se puede superar con la vibración ambiente o térmica, las imperfecciones del objeto, etc…
Relaja las ligaduras, pero sin pasarte
Cuando se aplican los multiplicadores de Lagrange para el cálculo de fuerzas de ligadura, SÓLO se relajan las ligaduras que capturen dichas fuerzas dejando el resto intactas. Sirva el ejemplo de un objeto rodante sobre una superficie. Si se quiere calcular la fuerza de ligadura de contacto no se debe tocar la ligadura de rodadura, dejándola en su forma original. Hay que recordar que la relajación de una ligadura no significa su eliminación. En un sentido virtual, la ligadura se desdibuja pero el resto de ligaduras siguen presentes. No es válido el siguiente razonamiento en la relajación: si no hay apoyo, no habrá rodadura.
Recordemos que existe fuerza de apoyo mientras exista contacto y tendencia al movimiento en contra de la ligadura (ambas condiciones). Y con la rodadura ocurre igual. En unos pocos casos es posible que la fuerza de retención cortante ligada a la rodadura sea nula debido a que no existe tendencia al movimiento relativo del punto material de contacto. Las condiciones de ligadura están por encima de la existencia de fuerzas de ligadura (no nulas).