En las ondas mecánicas, la impedancia mecánica de un medio es el esfuerzo desarrollado en el medio para producir una velocidad local determinada. Da idea de la resistencia del medio a ser perturbado (deformado+desplazado). De esta forma, en una frontera abierta la deformación es máxima y el esfuerzo nulo, dando una impedancia nula (inercia nula). Por otro lado, en una frontera rígida la deformación es nula y el esfuerzo finito, dando una impedancia infinita (inercia infinita). En ambas situaciones extremas sólo ocurre reflexión en la frontera. Las fronteras entre medios distintos con igual impedancia permiten transmitir toda la intensidad de onda, sin reflexión. En movimientos oscilatorios amortiguados forzados, la impedancia es compleja con una parte imaginaria (inercial y la elasticidad) y una parte real (disipación viscosa).
Funciones de onda de cuadrado integrable
Una consecuencia directa de la energía finita asociada a cualquier onda viajera armónica, es que la integral del cuadrado del módulo de la función de onda compleja que la representa debe ser finita sobre todo el dominio temporal (y espacial). Hay tres funciones matemáticas (con sus cuadrados) que tienen una integral finita en todo el dominio infinito (tiempo o espacio): lorentziana, gaussiana y sinc. Estas funciones son ideales para representar pulsos de ondas (viajeras). Sin embargo, cualquier paquete de onda, descrito por una función de onda por partes de manera que es distinta de cero en un cierto intervalo finito de tiempo o espacio, cumplirá con la condición de cuadrado integrable.
Las ondas armónicas estrictas, de extensión/duración infinita, no son de cuadrado integrable. Sin embargo, un pulso instantáneo (descrito por una función de onda Delta de Dirac factorizada por una amplitud) de ancho nulo, sí es de cuadrado integrable. Lo primero nos lleva a pensar que no tienen sentido físico las ondas armónicas estrictas y sí los paquetes de ondas armónicas.
Función de onda de significado energético
En Acústica, la magnitud perturbada vinculada a la densidad de energía es el cuadrado de la sobrepresión. En las ondas transversales que se propagan por una cuerda tensa, la magnitud perturbada vinculada a la densidad de energía es el cuadrado de la velocidad de desplazamiento. Existe una relación entre esta velocidad y la tasa de deformación de la cuerda (derivada parcial del desplazamiento transversal con respecto a x), que evoca a la de la sobrepresión y la correspondiente tasa de deformación. La constante de proporcionalidad en el primer caso es la propia velocidad de fase (con +/-) mientras que en la segunda es el módulo de compresibilidad (con -). Como era de esperar, una onda de desplazamiento también lo es de velocidad pero es esta función de onda la que tiene significado energético.
Potencia, ¿trabajo o energía por unidad de tiempo?
La potencia mecánica consumida por una determinada fuerza es su trabajo elemental por unidad de tiempo infinitesimal o también la derivada temporal del trabajo realizado (integral) por dicha fuerza en una trayectoria dada (y con ella, en un tiempo dado). La potencia eléctrica también se define como el trabajo elemental eléctrico (de origen electrostático o no) consumido por unidad de tiempo infinitesimal. Sólo para el caso de movimiento de cuerpos (cargas), la potencia instantánea se puede escribir como el producto escalar de fuerza por velocidad. La derivada temporal de la energía mecánica NO es la potencia mecánica total. Numéricamente, la derivada temporal de la energía mecánica puede coincidir con una de las potencias consumidas (normalmente por fuerzas disipativas).
Un medio material se puede modelar como un conjunto de osciladores armónicos ACOPLADOS. En ese modelo, la energía mecánica de cada oscilador no es constante. La potencia de una onda mecánica, que nunca transporta materia aunque se origina por el movimiento local del medio, es la derivada de la energía mecánica local de un elemento infinitesimal del medio (un oscilador armónico) por el que se propaga la onda. En medios no absorbentes y ondas progresivas, esta potencia se conserva punto a punto y en ondas finitas (pulsos), la potencia se propaga con la onda.
Ambas potencias se miden en W.
Formación de ondas estacionarias
Es habitual recurrir a la interpretación, incluso demostración matemática, de ondas estacionarias monodimensionales como la superposición de una onda incidente con su reflejada en un medio acotado, usando el ejemplo paradigmático de la cuerda tensada. Sin embargo, la realidad es que las ondas estacionarias se pueden excitar de muchas maneras (tantas como condiciones iniciales): pulsión, percusión, extremo vibrante (forzado)…, y los armónicos correspondientes aparecen «instantáneamente», sin un tiempo de retardo (transitorio) debido a la ida y venida de una misma onda que se refleja en los extremos del medio. Además, los medios pueden tener alguna constricción entre sus extremos. Pongamos de ejemplo la barra afianzada en un punto entre sus extremos libres, que deberá excitarse toda la barra a la vez. En este caso, se podrá aplicar la solución reducida de dos ondas complejas (incidente y reflejada) PERO en cada región de la barra, lo que al final nos lleva a cuatro amplitudes complejas por determinar. Estrictamente (matemáticamente), el problema genérico se resuelve con la solución general de la ecuación de ondas planas: suma de cuatro exponenciales complejas con cuatro constantes (complejas) indeterminadas.
En otro orden de cosas, las impedancias mecánicas del medio exterior al medio donde se confina la onda deben ser tales que justifiquen un coeficiente de reflexividad unidad y un coeficiente de transmisividad nulo, en cada contorno del medio, sea «abierto» como «cerrado». Así, la onda estacionaria formada en una cuerda fija por un extremo y con el otro extremo móvil (libre), en dirección vertical, se explica por considerarse el medio limitado por dos medios exteriores: el adyacente al extremo fijo con una impedancia infinita (amplitud compleja de la onda transmitida nula) y el adyacente al extremo libre con una impedancia mecánica nula (intensidad transmitida nula). El primer caso ocurre cuando el medio posee tanta inercia (densidad infinita) o tan poca deformabilidad que impide la propagación (velocidad de propagación nula), y el segundo caso cuando el medio exterior es el vacío (densidad nula = deformabilidad infinita). Si el extremo libre tuviera fijada una masa, su condición de contorno variaría (segunda ley de Newton) y con ella la posibilidad de formación de onda estacionaria. Este razonamiento se puede aplicar igualmente a ondas longitudinales (ondas de presión/desplazamiento en fluido confinado) aunque invirtiendo las características de los extremos [1]. Un tubo de aire con extremo abierto y cerrado corresponde con la existencia mental de los siguientes medios exteriores: un medio rígido/inerte adyacente al extremo abierto (sobrepresión nula) que permite el desplazamiento longitudinal máximo (vientre) del elemento infinitesimal de masa fluida extremo y el vacío adyacente al extremo cerrado que justifica un nodo en el desplazamiento (vientre de sobrepresión).
