Campos solenoidal e irrotacional

Un campo físico vectorial general es capaz de, mentalmente:

1. trasladar cuerpos entre puntos privilegiados o de producirles dilataciones/contracciones. Su medida local es la divergencia, y
2. cambiar la orientación de cuerpos o producirles deformaciones cortantes (cizalla) alrededor de direcciones axiales privilegiadas. Su medida local es el rotacional.

Estas propiedades no son excluyentes. Los campos solenoidales no disfrutan de la propiedad 1 (divergencia nula) mientras que los campos irrotacionales no disfrutan de la propiedad 2 (rotacional nulo). Un campo irrotacional es potencial (i.e. expresado como un gradiente de un potencial escalar) si el espacio físico en el que está definido el campo sólo permite dominios simplemente conectados (que permiten colapsar cualquier contorno cerrado en un punto). Un campo solenoidal se escribe como un rotacional de un vector concreto pero también se puede expresar como el producto vectorial de dos campos potenciales.

Un campo uniforme a se puede expresar como el rotacional del producto rxa, salvo un prefactor -1/2, y como el gradiente de r.a. El vector de posición siempre se puede escribir como el gradiente de su módulo al cuadrado dividido por 2. El campo definido por la distribución de momentos de una fuerza potencial es solenoidal.

Cualquier campo vectorial se puede expresar como suma de un campo potencial (gradiente) y otro en forma de rotacional, pero estos campos elementales no se consideran componentes vectoriales porque su producto escalar no es cero (!), como sí ocurre con las componentes intrínsecas, paralelas y perpendiculares, de un vector sobre una curva.

Pensemos en cómo escribir el vector normal a una superficie curva. La primera forma es como gradiente de la función implícita de la superficie. En ese caso, un campo normal sencillo es potencial y por tanto irrotacional. Alternativamente, un vector normal a la superficie curva se puede escribir como el producto vectorial de los vectores normales (gradientes) de los planos definidos por las coordenadas curvilíneas naturales en el punto de interés [1]. Ahora el campo normal es solenoidal. El vector normal es único, salvo prefactores, por tanto el campo normal será irrotacional y solenoidal, como le ocurre a un campo uniforme o al campo definido sobre un plano.

El campo de velocidades de un cuerpo deformable tiene asociado un tensor-gradiente, que se puede escribir como una componente de deformación estricta (tensor simétrico) y otra de rotación pura (tensor antisimétrico). Un sólido rígido sólo tendrá la segunda componente. Como todo tensor antisimétrico tiene traza nula, la divergencia del campo de velocidades del sólido rígido será nula (campo solenoidal). Sin embargo, es posible que un cuerpo no rote y sufra una deformación combinada de traza nula (parte solenoidal del campo) y otra de traza no nula. Esta última es la parte irrotacional del campo, escrita en forma de gradiente.