Si bien formalmente es correcto aplicar la propagación de errores a la media aritmética, entendida como una relación funcional entre variables independientes (medidas repetidas), no es apropiado en el laboratorio. En este caso las incertidumbres de cada medida están correlacionadas entre sí y no son mutuamente independientes (puesto que las variables provienen de una misma distribución). Esto no ocurre con magnitudes diferentes mutuamente independientes. Así, se reserva la propagación de errores para leyes físicas o relaciones matemáticas entre magnitudes. Un caso distinto es el de una magnitud que decrece monótona con el tiempo aun debiendo ser constante según la teoría, para lo que se toma un valor promedio entre dos instantes cercanos por representatividad. En ese caso, el error de la magnitud, antes que la desviación estándar, resulta de la propagación de errores como medida indirecta.

Más allá de su naturaleza estadística, y muchas veces controvertida (diferentes criterios, contextos, tipos de error, notaciones), hay un consenso en el ámbito de la metrología y calibración (como en el de investigación) sobre la idoneidad de expresar el error de la media a partir de intervalos de confianza cuando se desconoce tanto el valor verdadero de la magnitud como su varianza y las desviaciones siguen la distribución Gaussiana. Cuando se hacen menos de 30 medidas, se usa la distribución t-Student, la cual es la distribución normal cuando N->infinito [1 ,2].

La incertidumbre de la media de medidas directas con errores aleatorios (accidentales) viene dada por regla general por el intervalo de confianza. Cuando se toma como valor estimado de la magnitud su media muestral acompañada de la desviación estándar muestral como incertidumbre, estamos diciendo que tenemos la certeza del 80% con N=3 medidas y 90% con N=5 medidas de que el valor verdadero se encuentre en dicho intervalo. Tener más certeza va acompañado de tener un intervalo más amplio a no ser que aumentemos el número de medidas. Por ello, siempre hay que realizar el mayor número de medidas que permita el montaje y el tiempo.

¿Es lo mismo realizar un ajuste por mínimos cuadrados que interpolar unos datos experimentales?

No. Interpolar es unir los puntos mediante polinomios.

¿Ajustar unos datos es evaluar los datos experimentales en una función-prueba?

La sustitución directa de los datos en una función-prueba con la intención de conocer los parámetros libres de la función, en general, lleva a un sistema de ecuaciones sobredeterminado, luego incompatible y por tanto irresoluble algebraicamente. El ajuste por mínimos cuadrados permite obtener una solución que es la mejor según ciertos criterios estadísticos, aunque no es exacta desde el punto de vista algebraico.

¿Un ajuste debe tener en cuenta los errores de X e Y?

Sí, se deben incluir los errores de X e Y en los ajustes (conocidos como ajustes ponderados). Los mínimos cuadrados suponen que la incertidumbre en X es despreciable comparada con la de Y, pero no siempre es así. En sentido matemático, todo ajuste debería ser ortogonal, donde lo que se minimiza es la distancia del punto (X, Y) al modelo. Sin embargo, computacionalmente resulta más sencillo implementar el ajuste como una minimización de las distancias en Y, de ahí que las incertidumbres que ponderan el ajuste por mínimos cuadrados son las de Y. Más info en [1].

¿Cuál es la interpretación de las incertidumbres de los coeficientes del ajuste?

Representan un intervalo de confianza (con al menos un 95% de confianza siempre que N>=7)

¿Qué problemas tiene la linealización de una ley exponencial para realizar un ajuste lineal?

Uno es el dimensional. El argumento de logaritmo (decimal o neperiano) tiene que ser adimensional. Ello implica que la medida deberá dividirse por el valor 1 expresado en la unidad de medida. Otro es el intervalo de ajuste (unidades en forma de submúltiplos o valores cercanos a 1) donde el logaritmo cambia abruptamente.

No basta con el solapamiento de los intervalos de confianza. Dos valores medios pueden ser estadísticamente diferentes aún solapándose sus intervalos de confianza (90-95%). Estrictamente, habría que aplicar tests de contraste de hipótesis a todos los datos crudos de las dos muestras, pero una regla del pulgar es utilizar intervalos de confianza más anchos (83%). Si con esa confianza, los intervalos solapan, entonces podemos afirmar que las medias son estadísticamente similares. Más info en [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7].

¿Qué modelo funciona mejor: a*tanh(b*t) ó a*(1-exp(-b*t))? ¿a*x^(-b) ó a*exp(-b*x)? ¿Tiene sentido ajustar una tendencia decreciente poco pandeada con una exponencial? La línea recta es una exponencial de curvatura cero.

El que estemos seguros de que dos series de datos están (co)relacionadas, no quiere decir que la relación sea tan estrecha como para estimar valores de Y desconocidos a partir de valores de X conocidos; eso dependerá de la incertidumbre de estimación que aceptemos. Si las incertidumbres en los coeficientes de ajuste son altas, puede ser un indicador de que el modelo matemático usado en el ajuste puede ser físicamente no válido. Por ello la raíz cuadrada de la suma de residuos elevados al cuadrado, normalizada por el número de grados de libertad es el mejor indicador de la dispersión de datos en un ajuste [1].

En octubre de 2012 fue noticia un artículo en la prestigiosa revista New England Journal of Medicine que correlacionó con un aceptable coeficiente de correlación el consumo anual per cápita de chocolate en un país con el número de ganadores de un Premio Nobel.

¿Qué significa un coeficiente de correlación de -0.995? Pues que los valores de x e y están altamente relacionados. Pero esto no tiene por qué darle necesariamente sentido físico a una dependencia funcional entre x e y. La existencia de una correlación no indica necesariamente una relación causa-efecto. Esta confusión entre estadística descriptiva y artefacto puramente casual ha de evitarse. No obstante, se puede someter el coeficiente de correlación a test de significancia, con diferentes grados de confianza.