La masa de un cuerpo, como característica intrínseca de la materia que revela su resistencia al cambio de estado de movimiento, parece clara. Pero, ¿la masa inercial (2ª ley de Newton) es igual que la masa gravitatoria que aparece en la Ley de Gravitación Universal? Del mismo modo que la masa «propia» o en reposo no coincide con la masa relativista, podrían existir diferencias entre masa inercial y gravitatoria. La medida de masas se hace extensamente por pesada. Pero también se puede hacer a partir de la resonancia del cuerpo a pesar conectado a un muelle conocido. En ese caso, la masa es inequívocamente la inercial. Esta es la base de las microbalanzas de cuarzo. No obstante existe un única unidad de masa, aunque recientemente se ha redefinido como kilogramo «eléctrico» al basarse en una balanza electromecánica que mide la corriente necesaria para soportar un peso. Si la gravedad no es una fuerza sino una deformación del espacio-tiempo, no parece adecuada como método para medir una propiedad intrínseca de un cuerpo.
¡Qué «cargantes» son los condensadores!
Un condensador descargado, si se conecta a una batería, comenzará a cargarse en un tiempo característico. La batería sirve para cargar el condensador con el paso de la corriente que crea. Una vez que el condensador alcanza la carga que le corresponde para la d.d.p. impuesta por la batería (ya que la capacidad del condensador es fija), si el condensador se desconecta quedará así. No perderá carga ni variará de potencial. Si el condensador se “toca”, se descargará, variando de carga y de d.d.p., conforme a su capacidad.
Los condensadores curvos (cilíndricos y esféricos) tienen algunas singularidades que el plano-paralelo no disfruta. El campo eléctrico fuera de todo condensador simétrico es nulo (apantallamiento) y por tanto el potencial eléctrico será constante. El potencial eléctrico de la armadura conductora externa del condensador esférico o cilíndrico estará a dicho potencial, puesto que el potencial debe ser una función continua en las fronteras (cargadas o no). Este potencial debe ser compatible con la carga de dicha armadura (positivo o negativo). No hay que perder de vista que, por el principio de superposición, el potencial total creado por ambas armaduras es el que hay que considerar. De esta forma, la «caída/subida» de potencial desde el centro del condensador curvo hasta el infinito, será una curva continua (con puntos angulosos-de derivada discontinua) creciente o decreciente entre armaduras según el signo de la d.d.p. Por el contrario, en un condensador plano-paralelo idealizado (planos matemáticos, sin grosor), el potencial constante del espacio debería coincidir con el de ambas placas por continuidad ya que ambas son armaduras externas, ¿o quizás no? En los condensadores curvos sólo existe un infinito (r→∞) mientras que en el plano-paralelo, dos (z→±∞) y por tanto sería posible dividir el espacio en dos mitades igualmente infinitas, a diferente potencial eléctrico pero compatible con los valores de potencial de cada armadura plana.
Otra cuestión disonante es la asociación de condensadores curvos. La asociación en serie corresponderá con condensadores cilíndricos coaxiales (N+1 armaduras, N condensadores) o condensadores esféricos concéntricos de diferente radio. Mientras que la asociación en paralelo (2N armaduras, N condensadores) será posible, sin perforar las armaduras, conectando a tierra las armaduras internas y con un mismo hilo conductor las externas, lo cual es menos compacto. Justo lo contrario ocurre con los condensadores planos. La asociación en paralelo natural, y por tanto más compacta, de condensadores planos corresponde a intercalar N+1 armaduras conectadas por fuera con N armaduras también conectadas, lo que proporciona 2N condensadores en paralelo. Sin embargo, la asociación en serie de condensadores planos es poco compacta, como ocurre con la asociación en paralelo de los condensadores curvos. Regla del pulgar de compacidad: en serie, usemos geometría curva pero en paralelo, geometría plana.
Por último, el condensador plano-paralelo resulta determinante para introducir la corriente de desplazamiento, con ella la corrección de la Ley de Ampere, y así explicar la continuidad de corriente eléctrica en un circuito.
Oscilador armónico amortiguado forzado sin respuesta transitoria
Las constantes de integración vinculadas a la solución particular de un oscilador armónico amortiguado forzado dependen exclusivamente del sistema, y no de las condiciones iniciales. Son las constantes de integración de la solución homogénea las que sí dependen de las condiciones iniciales, además de parámetros del sistema. Si las condiciones iniciales (posición y velocidad en t=0) son elegidas adecuadamente, es posible cancelar la solución homogénea (respuesta transitoria) en favor de la solución particular (respuesta estacionaria). Esto acortaría los indeseables transitorios de un sistema oscilatorio forzado.
Giro externo solidario de un disco
Un disco que gira alrededor de un eje externo perpendicular al disco, sin que el eje de simetría del disco cambie de orientación (rotación plana), combina dos movimientos puros: el del centro de masas y la rotación interna del disco (respecto del CM). El momento angular del disco respecto del punto por el que pasa el eje externo siempre es la suma del momento angular del centro de masas (punto material) más el «espín». Si el disco mantuviera la misma orientación, no existiría giro interno (espín cero) y el momento angular del disco sería el del centro de masas. Si el disco gira libremente respecto de sí mismo, no existe vínculo entre las velocidades del centro de masas (Ω) y de la rotación interna (ω) y el momento angular del disco no se puede escribir como el producto IΩ. Si el disco rodara (dentro o sobre una curva) alrededor del eje externo, existe vínculo entre el giro del centro de masas y la rotación interna aunque seguiríamos sin poder escribir el momento angular del disco como IΩ. Si un diámetro del disco permaneciera solidario al giro externo, entonces la velocidad de giro interno y la del giro del centro de masas coincidirían (Ω=ω) y sí podríamos escribir el momento angular del disco como IΩ, siendo I el momento de inercia del disco respecto del eje externo (Steiner). Este último caso es una excepción pues, en general, el momento angular de un sólido rígido se puede escribir como el producto Iω cuando el eje de giro es interno o instantáneo. En este tipo de giro externo, el sólido rígido es solidario al giro.
Amplitud de un oscilador armónico 2D
La amplitud, A, de un movimiento oscilatorio en general no es la máxima distancia a la configuración de equilibrio. Esto es así en aquellos movimientos en los que se pase por el equilibrio (x=0, y=0 ó ambos). La amplitud es el desplazamiento inicial desde el equilibrio con velocidad (radial) nula. De esta forma, la energía mecánica del oscilador 2D (sistema conservativo) se puede escribir como:
E=½mω²A²+½l²/(mA²)
donde l es el momento angular asociado al giro del oscilador. Si la frecuencia natural de oscilación, ω, cumpliera l=mA²ω correspondería al caso de una trayectoria circular:
E=½mω²A²+½ω|l|=mω²A²
En el caso de una trayectoria elíptica orientada de semiejes a y b, la amplitud A=|a| o |b|pues:
- E=½mω²(a²+b²)
- l=mωab
En el caso de una trayectoria elíptica inclinada de semi-distancias máximas en x e y, c y d:
E=T+V=<T>+<V>=2<V>=mω²(<x²>+<y²>)=½mω²(c²+d²)
Como el momento angular se puede escribir en términos del área de la elipse como sigue:
l=mωS/π
llegamos a:
- S=πA√(c²+d²-A²)=πAB
- A²+B²=c²+d²
- E=½mω²(A²+B²)
El último resultado es esperable pues la energía, como magnitud física escalar, debe ser indiferente a la orientación de la elipse.