La cinemática del Punto no coincide con la cinemática del Sólido Rígido. Es importante diferenciar el estado de movimiento de un punto geométrico del punto material que pase instantáneamente por el primero [1]. En sistemas de partículas ligadas, como el sólido rígido, la velocidad instantánea del punto material no siempre coincide con la del punto geométrico por el que pasa. Como ejemplo paradigmático de esta diferencia entre puntos geométricos y materiales, el Centro Instantáneo de Rotación es un punto geométrico (normalmente móvil) tal que si por él pasara un punto material solidario al sólido rígido, éste tendría instantáneamente velocidad nula.
Derivada temporal de una distancia al cuadrado chocante
El cuadrado de un vector de posición relativa representa el cuadrado de la distancia entre el punto de interés y el punto de referencia. Si le aplicamos a esa cantidad la derivada temporal medida desde un sistema fijo (inercial), obtenemos el doble del producto de la distancia por la derivada de la distancia. Alternativamente podríamos escribirlo como el doble del producto escalar entre el vector de posición relativa y su derivada temporal. Pero, si el punto de referencia (matemático) cambia de posición aunque en cada instante está en reposo (como un desplazamiento virtual), la derivada temporal del vector de posición medida desde el punto de referencia coincide con la derivada medida desde el sistema fijo pero no ocurre lo mismo con la derivada de la distancia (módulo del vector de posición relativa) pues ésta es instantáneamente nula para el punto de referencia pero no es cero para el sistema fijo puesto que el punto de referencia ha cambiado de posición aunque lo hubiera hecho sin velocidad.
Esto ocurre con el Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en sólidos rígidos. Cuando este punto matemático singular coincide con uno material del sólido rígido u otro punto externo pero fijo, se puede asegurar que la distancia entre el CIR y cualquier punto del sólido rígido se mantiene constante, visto desde el CIR como desde un sistema fijo. Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM. Esto último permite escribir la Ecuación Fundamental de la Rotación en forma reducida.
Multiplicar un tensor por un vector da otro vector diferente
Aplicar el tensor identidad multiplicado por un escalar a un vector físico cualquiera (a través del producto interno o contracción) representa una dilatación/contracción del vector (cambio de módulo).
Aplicar un tensor diagonal cualquiera a un vector físico cualquiera representa una «distorsión» del vector físico (cambio de módulo y dirección/sentido). Todo tensor simétrico se puede diagonalizar y por tanto tiene el mismo efecto que el anterior. Como todo tensor simétrico se puede escribir como la suma de los productos diádicos de dos vectores: (ab+ba), el vector resultante es la descomposición del vector inicial c en las direcciones de a y b pero utilizando como pesos c.b y c.a, respectivamente.
Aplicar un tensor simétrico a un vector físico representa un «giro» en el que también cambia el módulo. Como todo tensor antisimétrico se puede escribir como la resta de los productos diádicos de dos vectores: (ab-ba), el vector resultante es (axb)xc, perpendicular a c como resultado de su giro respecto del eje axb.
Cuando los vectores a y b son paralelos, los respectivos productos diádicos son iguales:ab=ba. Y si son perpendiculares, la traza (suma de la diagonal) de ab es nula.
La ecuación fundamental de la rotación usando el centro instantáneo de rotación
La forma reducida de la ecuación fundamental de la rotación, sin término extra debido a la aceleración del punto Q de referencia, es válida en tres supuestos. En ninguno de ellos se dice de manera explícita que es válida para el centro instantáneo de rotación (CIR), sin ser fijo, porque éste puede estar acelerado (!!!). Existen casos donde podría ser válida la ecuación fundamental de la rotación reducida para el CIR, como los movimientos desarrollados en un mismo plano, con el eje de rotación perpendicular al mismo. Si en esos casos la distancia centro de masas-CIR se mantuviera constante durante el movimiento, podemos asegurar la constancia del momento de inercia principal respecto del eje instantáneo de rotación (que pasa por el CIR) y con ello la aceleración del CIR apuntaría hacia el CM. Un ejemplo es el movimiento de sólidos rígidos simétricos rodantes, donde el punto de contacto con el suelo es el CIR. Si el cuerpo rodante no tiene simetría de revolución (ej.- rueda elíptica), entonces la distancia centro de masas-CIR no se mantiene constante.
Nota: Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM.
Cuando 2×1 no es 1+1
El tensor de inercia de dos cuerpos idénticos formando un conjunto NO es el doble del tensor de uno de ellos. La masa del conjunto es el doble de la masa de uno de ellos pero la distribución de masa del conjunto no es el doble de la distribución de uno de los cuerpos porque depende de cómo estén dispuestos los cuerpos en torno a un punto. Cuando los cuerpos están dispuestos bajo simetría cruzada en torno al punto (r->-r), entonces 2×1 sí es 1+1.
Existen algunos resultados interesantes sobre la aditividad del tensor de inercia:
- El tensor de inercia del conjunto respecto de su centro de masas es igual a la suma de los tensores individuales PERO referidos a los respectivos centro de masas MÁS un término idéntico al que aparece en el Teorema de Steiner pero utilizando el vector de posición relativa entre centros de masas individuales y la masa reducida del conjunto.
- Si dos puntos Q, P están alineados con el centro de masas, es posible calcular el tensor de inercia respecto de Q conocido el tensor respecto de P más un término que evoca al del Teorema de Steiner pero en el que se utiliza el vector de posición relativo QP (a) y la suma de los vectores de posición de Q y P respecto del centro de masas (b): m((a.b)ī–ab). De este resultado se deduce que un sólido rígido puede tener idéntico tensor de inercia respecto de dos puntos distintos si estos son simétricos respecto del centro de masas (b=0).