La asociación tiempo-energía es recurrente en Física. Se dice que ambas magnitudes son conjugadas porque el principio de incertidumbre se puede re-escribir en términos de energía del paquete de ondas y la duración del mismo. Por otro lado, según el teorema de Noerthe, se conserva la energía (Hamiltoniano) de un sistema cuando éste es homogéneo en el tiempo, es decir, su acción mantiene el mismo valor antes y después y no existe un origen de tiempos. Del mismo modo que coordenada y momento son magnitudes conjugadas a través de las ecuaciones de Hamilton, la Lagrangiana (acción) y tiempo también lo son. Por otro lado, la entropía informa del flujo de energía en el sistema y con ello del tiempo. Por último, si se impone como adimensionales las cinco constantes fundamentales elegidas por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas como referencias invariantes, las magnitudes fundamentales cuyas dimensiones cambian son: longitud, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica y cantidad de sustancia. En este contexto, la masa, la temperatura y la intensidad de corriente tienen dimensiones de inversa del tiempo lo que confirma la interpretación de estas magnitudes como flujos o paso del tiempo.
Bases vectoriales curvilíneas
En un espacio curvilíneo coordenado (u¹, u², u³) es posible definir dos bases vectoriales en el punto (q¹, q², q³):
- vectores tangentes a las líneas (u¹, cte, cte), (cte, u², cte), (cte, cte, u³) que concurren en (q¹, q², q³)
- vectores perpendiculares a los planos u¹=cte, u²=cte y u³=cte que se cortan en (q¹, q², q³)
Estos vectores no coinciden por lo general. A estas bases se las conoce como covariante y contravariante, respectivamente. Es posible normalizar estos vectores para que no tengan dimensiones físicas y se puedan usar para definir componentes vectoriales o tensoriales físicas. Para coordenadas ortogonales con bases ortonormales, las componentes covariante, contravariante y físicas son idénticas.
Posición y estado de movimiento de puntos materiales en sistemas complejos
La cinemática del Punto no coincide con la cinemática del Sólido Rígido. Es importante diferenciar el estado de movimiento de un punto geométrico del punto material que pase instantáneamente por el primero [1]. En sistemas de partículas ligadas, como el sólido rígido, la velocidad instantánea del punto material no siempre coincide con la del punto geométrico por el que pasa. Como ejemplo paradigmático de esta diferencia entre puntos geométricos y materiales, el Centro Instantáneo de Rotación es un punto geométrico (normalmente móvil) tal que si por él pasara un punto material solidario al sólido rígido, éste tendría instantáneamente velocidad nula.
Derivada temporal de una distancia al cuadrado chocante
El cuadrado de un vector de posición relativa representa el cuadrado de la distancia entre el punto de interés y el punto de referencia. Si le aplicamos a esa cantidad la derivada temporal medida desde un sistema fijo (inercial), obtenemos el doble del producto de la distancia por la derivada de la distancia. Alternativamente podríamos escribirlo como el doble del producto escalar entre el vector de posición relativa y su derivada temporal. Pero, si el punto de referencia (matemático) cambia de posición aunque en cada instante está en reposo (como un desplazamiento virtual), la derivada temporal del vector de posición medida desde el punto de referencia coincide con la derivada medida desde el sistema fijo pero no ocurre lo mismo con la derivada de la distancia (módulo del vector de posición relativa) pues ésta es instantáneamente nula para el punto de referencia pero no es cero para el sistema fijo puesto que el punto de referencia ha cambiado de posición aunque lo hubiera hecho sin velocidad.
Esto ocurre con el Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en sólidos rígidos. Cuando este punto matemático singular coincide con uno material del sólido rígido u otro punto externo pero fijo, se puede asegurar que la distancia entre el CIR y cualquier punto del sólido rígido se mantiene constante, visto desde el CIR como desde un sistema fijo. Si el CIR no pertenece al sólido rígido pero mantiene la constancia en la distancia con el Centro de Masas (CM), sabemos que la aceleración del CIR es perpendicular a la velocidad del CM del sólido, y si el movimiento está confinado en un plano, dicha aceleración además apuntará hacia el CM. Esto último permite escribir la Ecuación Fundamental de la Rotación en forma reducida.
Multiplicar un tensor por un vector da otro vector diferente
Aplicar el tensor identidad multiplicado por un escalar a un vector físico cualquiera (a través del producto interno o contracción) representa una dilatación/contracción del vector (cambio de módulo).
Aplicar un tensor diagonal cualquiera a un vector físico cualquiera representa una «distorsión» del vector físico (cambio de módulo y dirección/sentido). Todo tensor simétrico se puede diagonalizar y por tanto tiene el mismo efecto que el anterior. Como todo tensor simétrico se puede escribir como la suma de los productos diádicos de dos vectores: (ab+ba), el vector resultante es la descomposición del vector inicial c en las direcciones de a y b pero utilizando como pesos c.b y c.a, respectivamente.
Aplicar un tensor simétrico a un vector físico representa un «giro» en el que también cambia el módulo. Como todo tensor antisimétrico se puede escribir como la resta de los productos diádicos de dos vectores: (ab-ba), el vector resultante es (axb)xc, perpendicular a c como resultado de su giro respecto del eje axb.
Cuando los vectores a y b son paralelos, los respectivos productos diádicos son iguales:ab=ba. Y si son perpendiculares, la traza (suma de la diagonal) de ab es nula.
